設二次函數(shù)g（x）的圖象在點（m，g（m））的切線方程為y=h（x），若f（x）=g（x）-h（x）
則下面說法正確的有：
 
．
①存在相異的實數(shù)x1，x2使f（x1）=f（x2）成立；
②f（x）在x=m處取得極小值；
③f（x）在x=m處取得極大值；
④不等式|f(x)|＜
12013
的解集非空；
⑤直線 x=m一定為函數(shù)f（x）圖象的對稱軸．
分析：設g（x）=ax2+bx+c，（a≠0）然后求出在點（m，g（m））的切線方程為y=h（x），從而得到f（x）的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質可得結論．
解答：解：設g（x）=ax2+bx+c，（a≠0）則g（x）′=2ax+b，
∴g（m）′=2am+b則在點（m，g（m））的切線方程為 h（x）-g（m）=（2am+b）（x-m）即 h（x）=（2am+b）x-am2+c，
∴f（x）=ax2+bx+c-（2am+b）x+am2-c=ax2-2amx+am2=a（x-m）2，
∴f（x）是二次函數(shù)，關于x=m對稱，故⑤正確；
當x1，x2關于x=m對稱時，f（x1）=f（x2）成立，故①正確；
當a＜0時，在x=m處取得極大值，故②不正確；
當a＞0時，在x=m處取得極小值，故③不正確；
x=m時f（x）=0，滿足|f(x)|＜
1
2013
，故④正確；
故答案為：①④⑤．
點評：本題主要考查了二次函數(shù)的極值，以及二次函數(shù)的性質，利用導數(shù)研究在曲線某點處的切線方程，同時考查了分析問題的能力，屬于中檔題．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)g（x）的圖象經過坐標原點，且滿足g（x+1）=g（x）+2x+1，設函數(shù)f（x）=mg（x）-ln（x+1），其中m為非零常數(shù)
（1）求函數(shù)g（x）的解析式；
（2）當-2＜m＜0時，判斷函數(shù)f（x）的單調性并且說明理由；
（3）證明：對任意的正整數(shù)n，不等式ln(
1
n
+1)＞
1
n2
-
1
n3
恒成立．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知：二次函數(shù)g（x）=ax2-2ax+b+1（a＞0）在區(qū)間[2，3]上有最大值4，最小值1．
（1）求二次函數(shù)g（x）的圖象的對稱軸方程；
（2）求函數(shù)g（x）的解析式；
（3）設f(x)=
g(x)
x
．若f（2x）-k•2x≥0在x∈[-1
，1
時恒成立，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)g（x）的圖象經過坐標原點，且滿足g（x+1）=g（x）+2x+1，設函數(shù)f（x）=m[g（x+1）-1]-lnx，其中m為常數(shù)且m≠0．
（1）求函數(shù)g（x）的解析式；
（2）當-2＜m＜0時，判斷函數(shù)f（x）的單調性并且說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2006•寶山區(qū)二模）給出函數(shù)f(x)=
x2+4
+tx（x∈R）．
（1）當t≤-1時，證明y=f（x）是單調遞減函數(shù)；
（2）當t=
1
2
時，可以將f（x）化成f(x)=a(
x2+4
+x)+b(
x2+4
-x)的形式，運用基本不等式求f（x）的最小值及此時x的取值；
（3）設一元二次函數(shù)g（x）的圖象均在x軸上方，h（x）是一元一次函數(shù)，記F(x)=
g(x)
+h(x)，利用基本不等式研究函數(shù)F（x）的最值問題．

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