Question

已知數(shù)列滿足（）．
（1）若數(shù)列是等差數(shù)列，求它的首項和公差；
（2）證明：數(shù)列不可能是等比數(shù)列；
（3）若，（），試求實數(shù)和的值，使得數(shù)列為等比數(shù)列；并求此時數(shù)列的通項公式．

Answer 1

（1）首項為，公差為；（2）證明見解析；（3），，．

試題分析：（1）這個問題可以用特殊值法，數(shù)列是等差數(shù)列，則前3項也成等差數(shù)列，利用它就可求出，或者先由已知求出通項公式，再與等差數(shù)列的通項公式比較求出，或者假設(shè)是等差數(shù)列，則代入已知，求出，然后與其通項公式比較，得出；（2）要證數(shù)列不是等比數(shù)列，只要證明不能成等比數(shù)列即可，但本題條件較少，可用反證法，假設(shè)它是等比數(shù)列，由成等比，求出，然后再求，看是否成等比，如果不成等比，則假設(shè)錯誤，命題得證；（3）數(shù)列為等比數(shù)列，則是常數(shù)，設(shè)，這是關(guān)于的恒等式，
，，于是有對應(yīng)項系數(shù)相等，由此可求出，從而得到結(jié)論．
試題解析：（1）解法一：由已知，，   （1分）
若是等差數(shù)列，則，即，   （1分）
得，， 故．      （1分）
所以，數(shù)列的首項為，公差為．   （1分）
解法二：因為數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，則，
故，   （1分）
，又，所以有，   （1分）
又，從而．   （1分）
所以，數(shù)列的首項為，公差為．   （1分）
（2）假設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，則有，
即，      （1分）
解得，從而，，    （1分）
又．    （2分）
因為，，，不成等比數(shù)列，與假設(shè)矛盾，
所以數(shù)列不是等比數(shù)列．       （2分）
（3）由題意，對任意，有（為定值且），
即．     （2分）
即，   （1分）
于是，，   （1分）
所以，   （2分）
所以，當(dāng)，時，數(shù)列為等比數(shù)列．   （1分）
此數(shù)列的首項為，公比為，所以．
因此，的通項公式為．    （1分）