分析 (1)以O(shè)為原點(diǎn),OA為x軸,OB為y軸,OA1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能證明A1C⊥平面BB1D1D.
(2)求出平面OCB1的一個(gè)法向量和平面BB1D1D的一個(gè)法向量,利用向量法能求出平面C-OB1-B二面角θ的大小.
解答 證明:(1)以O(shè)為原點(diǎn),OA為x軸,OB為y軸,OA1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則由AB=AA1=$\sqrt{2}$,得A1(0,0,1),C(-1,0,0),B(0,1,0),D(0,-1,0),D1(-1,-1,1),
$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=(-1,0,-1),$\overrightarrow{BD}$=(0,-2,0),$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=(-1,-2,1),B1(-1,1,1),
$\overrightarrow{{A}_{1}C}$$•\overrightarrow{BD}$=0,$\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{B{D}_{1}}$=0,
∴A1C⊥BD,A1C⊥BD1,
又BD∩BD1=B,
∴A1C⊥平面BB1D1D.
解:(2)$\overrightarrow{OC}$=(-1,0,0),$\overrightarrow{O{B}_{1}}$=(-1,1,1),
設(shè)平面OCB1的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OC}=-x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{O{B}_{1}}=-x+y+z=0}\end{array}\right.$,取y=1,得$\overrightarrow{n}$=(0,1,-1),
設(shè)平面BB1D1D的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{m}$=(a,b,c),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=-2b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{B{D}_{1}}=-a-2b+c=0}\end{array}\right.$,取a=1,得$\overrightarrow{m}$=(1,0,1),
則cosθ=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{1}{2}$,
∴平面C-OB1-B二面角θ的大小為60°.
點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明,考查二面角的大小的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.
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A. | 1 | B. | $\sqrt{3}$ | C. | 2 | D. | $\sqrt{5}$ |
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