Question

【題目】某地棚戶區(qū)改造建筑平面示意圖如圖所示，經(jīng)規(guī)劃調(diào)研確定，棚改規(guī)劃建筑用地區(qū)域近似為圓面，該圓面的內(nèi)接四邊形是原棚戶區(qū)建筑用地，測(cè)量可知邊界萬(wàn)米，萬(wàn)米，萬(wàn)米.

（1）請(qǐng)計(jì)算原棚戶區(qū)建筑用地的面積及的長(zhǎng)；

（2）因地理?xiàng)l件的限制，邊界不能更改，而邊界可以調(diào)整，為了提高棚戶區(qū)建筑用地的利用率，請(qǐng)?jiān)趫A弧上設(shè)計(jì)一點(diǎn)，使得棚戶區(qū)改造后的新建筑用地的面積最大，并求出最大值.

Answer 1

【答案】(1) 萬(wàn)米. 萬(wàn)平方米.

(2) 所求面積的最大值為萬(wàn)平方米，此時(shí)點(diǎn)為弧ABC的中點(diǎn).

【解析】試題分析：(1)利用圓內(nèi)接四邊形得到對(duì)角互補(bǔ)，再利用余弦定理求出相關(guān)邊長(zhǎng)，再利用三角形的面積公式和分割法進(jìn)行求解 ；(2)利用余弦定理和基本不等式進(jìn)行求解．

試題解析：(1)根據(jù)題意知，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，∴∠ABC＋∠ADC＝180°.

在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，

即AC2＝42＋62－2×4×6×cos∠ABC.

在△ADC中，由余弦定理，得

AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC，即AC2＝42＋22－2×4×2×cos∠ADC.

又cos∠ABC＝－cos∠ADC，

∴cos∠ABC＝，AC2＝28，即AC＝2萬(wàn)米，

又∠ABC∈(0，π)，∴∠ABC＝.

∴S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝×4×6×sin＋×2×4×sin＝8 (平方萬(wàn)米)．

(2)由題意知，S四邊形APCD＝S△ADC＋S△APC，

且S△ADC＝AD·CD·sin＝2 (平方萬(wàn)米)．

設(shè)AP＝x，CP＝y，則S△APC＝xysin＝xy.

在△APC中，由余弦定理，得AC2＝x2＋y2－2xy·cos＝x2＋y2－xy＝28，

又x2＋y2－xy≥2xy－xy＝xy，

當(dāng)且僅當(dāng)x＝y時(shí)取等號(hào)，∴xy≤28.

∴S四邊形APCD＝2＋xy≤2＋×28＝9 (平方萬(wàn)米)，

故所求面積的最大值為9平方萬(wàn)米，此時(shí)點(diǎn)P為的中點(diǎn)．