Question

12．如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P為A₁D₁的中點(diǎn)，Q為A₁B₁上任意一點(diǎn)，E，F(xiàn)為CD上任意兩點(diǎn)，且EF的長為定值，則以下四個(gè)值中為定值的編號是①②④．
①點(diǎn)P到平面QEF的距離；
②三棱錐P-QEF的體積；
③直線PQ與平面PEF所成的角；
④二面角P-EF-Q的大�。�

Answer 1

分析 對4個(gè)結(jié)論分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．

解答 解：①中，∵平面QEF也就是平面A₁B₁CD，既然P和平面QEF都是固定的，∴P到平面A₁B₁CD的距離是定值，∴點(diǎn)P到平面QEF的距離為定值；
②中，∵△QEF的面積是定值（∵EF定長，Q到EF的距離就是Q到CD的距離也為定長，即底和高都是定值），再根據(jù)①的結(jié)論P(yáng)到平面QEF的距離也是定值，∴三棱錐的高也是定值，于是體積固定，∴三棱錐P-QEF的體積是定值；
③中，∵Q是動(dòng)點(diǎn)，E，F(xiàn)也是動(dòng)點(diǎn)，推不出定值的結(jié)論，∴直線PQ與平面PEF所成的角不是定值；
④中，由圖，平面QEF也就是平面A₁B₁CD，又∵平面PEF即為平面PCD，∴二面角P-EF-Q的大小為定值．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是直線與平面所成的角，二面角，棱錐的體積及點(diǎn)到平面的距離，其中兩線平行時(shí)，一條線的上的點(diǎn)到另一條直線的距離相等，線面平行時(shí)直線上到點(diǎn)到平面的距離相等，平面平行時(shí)一個(gè)平面上的點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等是解答本題的關(guān)鍵．