Question

設函數(shù)f（x）=e^x-ax-2，其導函數(shù)為f′（x）．
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（2）求f（x）的單調區(qū)間；
（3）若k為整數(shù)，若x＞0時，k＜

x+1

ex-1

+x恒成立，試求k的最大值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）因為a=1時，f（x）=e^x-x-2，所以f'（x）=e^x-1，f'（0）=-1，代入點斜式方程，求出切線方程即可；
（2）f（x）的定義域為R，f'（x）=e^x-a，若a≤0，則f'（x）＞0，f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增；若a＞0，f'（x）=0，解得x=lna，從而求出單調區(qū)間；
（3）由k＜

x+1

ex-1

+x(x＞0)①，令g(x)=

x+1

ex-1

+x，則g′(x)=

-xex-1

(ex-1)2

+1=

ex(ex-x-2)

(ex-1)2

．得h（x）在（0，+∞）存在唯一的零點，故g'（x）在（0，+∞）存在唯一的零點a，由g（x）_min=g（a）=

a+1

ea-1

+a．從而g（a）=a+1∈（2，3）．由于①式等價k＜g（a），故求出整數(shù)K的最大值．

解答： 解：（1）因為a=1時，f（x）=e^x-x-2，所以f'（x）=e^x-1，f'（0）=-1，
故切線方程是y=-1
（2）f（x）的定義域為R，f'（x）=e^x-a，
若a≤0，則f'（x）＞0，f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增；
若a＞0，f'（x）=0，解得x=lna，
當x變化時，f'（x），f（x）變化如下表：

x	（-∞，lna）	lna	（lna，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	減	極小值	增

所以f（x）的單調減區(qū)間是：（-∞，lna），增區(qū)間是：（lna，+∞）．
（3）即k＜

x+1

ex-1

+x(x＞0)①，
令g(x)=

x+1

ex-1

+x，則g′(x)=

-xex-1

(ex-1)2

+1=

ex(ex-x-2)

(ex-1)2

．
由（1）知，函數(shù)h（x）=e^x-x-2在（0，+∞）單調遞增，而h（1）＜0，h（2）＞0，
所以h（x）在（0，+∞）存在唯一的零點，故g'（x）在（0，+∞）存在唯一的零點a，
且a∈（1，2）．
當x∈（0，a）時，g'（x）＜0；當x∈（a，+∞）時，g'（x）＞0，所以g（x）_min=g（a）=

a+1

ea-1

+a．
又由g'（a）=0，即得e^a-a-2=0，所以e^a=a+2，
這時g（a）=a+1∈（2，3）．
由于①式等價k＜g（a），故整數(shù)k的最大值為2．

點評：本題考察了函數(shù)的單調性，求曲線的切線方程，導數(shù)的應用，是一道綜合題．