Question

7．已知△ABC中，角A，B，C所對的邊依次為a，b，c，其中b=2．
（Ⅰ）若asin2B=$\sqrt{3}$bsinA，求B；
（Ⅱ）若a，b，c成等比數(shù)列，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)二倍角公式和正弦定理可得cosB，繼而求出B，
（Ⅱ）據(jù)題意得出，b²=ac，利用余弦定理，基本不等式求解cosB≥$\frac{1}{2}$，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性得出答案

解答 解：（Ⅰ）由$asin2B=\sqrt{3}bsinA$，得$2asinBcosB=\sqrt{3}bsinA$，
由正弦定理得 $2sinAsinBcosB=\sqrt{3}sinBsinA$，
得$cosB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
又∵B∈（0，π），
∴$B=\frac{π}{6}$，
（Ⅱ）若a，b，c成等比數(shù)列，則有b²=ac=4，
∴$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}≥\frac{{2ac-{b^2}}}{2ac}=\frac{1}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時等號成立，
∵y=cosx在（0，π）單調(diào)遞減，且$cos\frac{π}{3}=\frac{1}{2}$，
∴B的最大值為$\frac{π}{3}$．
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB=2sinB$，
當(dāng)$B=\frac{π}{3}$時，△ABC面積取得最大值$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了正弦定理和三角形的面積公式，運用余弦定理，基本不等式求解，屬于中檔題．