Question

10．已知矩陣A=$[\begin{array}{l}{a}&{2}\\&{1}\end{array}]$，若矩陣A屬于特征值3的一個特征向量為$\overrightarrow{a}$=$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$，求該矩陣的另一個特征值．

Answer 1

分析 根據矩陣A屬于特征值3的一個特征向量為$\overrightarrow{a}$=$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$，可得a，b的值，再回代到方程f（λ）=0即可解出另一個特征值為λ=-1．

解答 解：因為$[\begin{array}{l}{a}&{2}\\&{1}\end{array}]$•$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$=3$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$，則$\left\{\begin{array}{l}{a+2=3}\\{b+1=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
所以A=$[\begin{array}{l}{1}&{2}\\{2}&{1}\end{array}]$，
由f（λ）=$[\begin{array}{l}{λ-1}&{-2}\\{-2}&{λ-1}\end{array}]$=（λ-1）²-4=0，
所以（λ+1）（λ-3）=0，
解的λ=-1或λ=3，
所以 該矩陣的另一個特征值是-1

點評 本題給出含有字母參數的矩陣，考查了特征值與特征向量的計算的知識，屬于基礎題．