（本題12分）

如圖，已知圓O的直徑AB=4，定直線L到圓心的距離為4，且直線L垂直直線AB。點P是圓O上異于A、B的任意一點，直線PA、PB分別交L與M、N點。

（Ⅰ）若∠PAB=30°，求以MN為直徑的圓方程；

（Ⅱ）當(dāng)點P變化時，求證：以MN為直徑的圓必過圓O內(nèi)的一定點。

 

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）設(shè)點P的坐標(biāo)為， MN的中點坐標(biāo)為。

以MN為直徑的圓截x軸的線段長度為

為定值�！唷�必過⊙O 內(nèi)定點。

【解析】

試題分析：建立直角坐標(biāo)系，⊙O的方程為，……2分

直線L的方程為。

（Ⅰ）∵∠PAB=30°，∴點P的坐標(biāo)為，

∴，。將x=4代入，得。

∴MN的中點坐標(biāo)為（4，0），MN=�！嘁訫N為直徑的圓的方程為。

同理，當(dāng)點P在x軸下方時，所求圓的方程仍是�！�6分

（Ⅱ）設(shè)點P的坐標(biāo)為，∴（），∴。

∵，將x=4代入，得，

。∴，MN=。

MN的中點坐標(biāo)為�！�10分

以MN為直徑的圓截x軸的線段長度為

為定值�！唷�必過⊙O 內(nèi)定點�！�12分

考點：圓的方程的求法；直線與圓的位置關(guān)系；直線方程的點斜式。

點評：要求圓的方程，只需確定圓心和半徑即可。本題的計算量較大，在計算的過程中一定要仔細(xì)、認(rèn)真，避免出現(xiàn)計算錯誤。

 

練習(xí)冊系列答案
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（本題12分）如圖，在側(cè)棱錐垂直底面的四棱錐ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，

AD⊥AB，AB=。AD=2，BC=4,AA1=2，E是DD1的中點，F(xiàn)是平面B1C1E

與直線AA1的交點。

（1）證明：（i）EF∥A1D1；

（ii）BA1⊥平面B1C1EF；

（2）求BC1與平面B1C1EF所成的角的正弦值。

 

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（本題12分）如圖所示,在直四棱柱中, ,點是棱上一點.

（1）求證：面；

（2）求證：；

 

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（（本題12分）如圖所示,在直四棱柱中, ,點是棱上一點

（1）求證：面；

（2）求證：；

 

 

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（本題12分）如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，M為線段AB的中點，將△ACD沿折起，使平面ACD⊥平面ABC，得到幾何體D－ABC，如圖2所示．

（Ⅰ）求證：BC⊥平面ACD；

（Ⅱ）求二面角A－CD－M的余弦值．

 

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（（本題12分）如圖2，在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，點E、F、G分別是DD1、BD、BB1的中點。

(Ⅰ)求直線EF與直線CG所成角的余弦值；

 (Ⅱ)求直線C1C與平面GFC所成角的正弦值；

     (Ⅲ)求二面角E—FC—B的余弦值。

 

 

 

 

 

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