Question

14．已知函數f（x）=-e^x+ex（其中e=2.71828…是自然對數的底數）
（1）求函數f（x）的最大值；
（2）設g（x）=lnx+$\frac{1}{2}$x²+ax．若對任意x₁∈[0，2]，總存在x₂∈[0，2]，使得g（x₁）＜f（x₂），求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用導數判斷函數f（x）的單調性與極值，求出f（x）在R上的最大值即可；
（2）由已知，轉化為g（x）_max＜f（x）_max，由（1）得f（x）_max=f（1）=0，由此能求出實數a的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=-e^x+ex，
∴f′（x）=-e^x+e，
由f′（x）=0，得x=1，
且x＜1時，0＜e^x＜e，∴-e^x+e＞0，即f′（x）＞0，f（x）是單調增函數；
x＞1時，e^x＞e，∴-e^x+e＜0，即f′（x）＜0，f（x）是單調減函數；
所以函數f（x）=-e^x+ex在R上的最大值為f（1）=0；
（2）由已知，轉化為g（x）_max＜f（x）_max，
由（1）知f（x）_max=f（1）=0，
由g（x）=lnx+$\frac{1}{2}$x²+ax，
得g′（x）=$\frac{1}{x}$+x+a≥2+a，
∴a≥-2時，g′（x）≥0，g（x）在[0，2]上是單調增函數，
∴g（x）_max=g（2）=ln2+2+2a＜0，
解得a＜-1-$\frac{1}{2}$ln2，
∴實數a的取值范圍是-2≤a＜-1-$\frac{1}{2}$ln2．

點評 本題主要考查了函數與導數的綜合應用問題，也考查了推理論證能力、運算求解能力，化歸與轉化思想的應用問題，是綜合性題目．