Question

某學(xué)校隨機(jī)抽取部分新生調(diào)查其上學(xué)路上所需時(shí)間（單位：分鐘），并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖），其中，上學(xué)路上所需時(shí)間的范圍是[0，100]，樣本數(shù)據(jù)分組為[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．
（1）求直方圖中x的值；
（2）如果上學(xué)路上所需時(shí)間不少于60分鐘的學(xué)生可申請(qǐng)?jiān)趯W(xué)校住宿，請(qǐng)估計(jì)學(xué)校1000名新生中有多少名學(xué)生可以申請(qǐng)住宿；
（3）現(xiàn)有6名上學(xué)路上時(shí)間小于40分鐘的新生，其中2人上學(xué)路上時(shí)間小于20分鐘．從這6人中任選2人，設(shè)這2人中上學(xué)路上時(shí)間小于20分鐘人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,頻率分布直方圖

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由頻率分布直方圖中各小矩形面積之和為1，能求出直方圖中x的值．
（2）先求出新生上學(xué)所需時(shí)間不少于60分鐘的頻率，由此能求出1000名新生中有多少名學(xué)生可以申請(qǐng)住宿．
（3）由題設(shè)知X的可能取值為0，1，2，分別求出其概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）由直方圖可得：
20×x+0.0125×20+0.0065×20+0.003×2×20=1．
所以 x=0.025．…（2分）
（2）新生上學(xué)所需時(shí)間不少于60分鐘的頻率為：
0.003×2×20=0.12…（4分）
因?yàn)?000×0.12=120
所以1000名新生中有120名學(xué)生可以申請(qǐng)住宿．…（6分）
（3）由題設(shè)知X的可能取值為0，1，2．…（7分）
P(X=0)=

C 0 2 • C 2 4

C 2 6

=

2

5

，
P(X=1)=

C 1 2 • C 1 4

C 2 6

=

8

15

，
P(X=2)=

C 2 2 • C 0 4

C 2 6

=

1

15

，
所以X的分布列為：

X	0	1	2
P	2 5	8 15	1 15

…（11分）
EX=

2

5

×0+

8

15

×1+

1

15

×2=

2

3

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．