Question

11．已知函數(shù)f（x）=ax²-lnx，a∈R．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在點(diǎn) （1，f（1））處的切線方程；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使f（x）的最小值為$\frac{3}{2}$，若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，求證：e²x³-2x＞2（x+1）lnx．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，求出切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，對(duì)a討論，當(dāng)a≤0時(shí)，當(dāng)a＞0時(shí)，求出單調(diào)區(qū)間，求得最小值，解方程可得a的值；
（3）由（2）得當(dāng)x＞0時(shí)，$\frac{1}{2}$e²x²-lnx≥$\frac{3}{2}$，可令g（x）=$\frac{lnx}{x}$+1，求出導(dǎo)數(shù)，單調(diào)區(qū)間，可得最大值，即可得證．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x²-lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2x-$\frac{1}{x}$，
函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為2-1=1，
切點(diǎn)為（1，1），可得切線方程為y-1=x-1，即x-y=0；
（2）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{2a{x}^{2}-1}{x}$，
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）為減函數(shù)，無(wú)最小值；
當(dāng)a＞0時(shí)，在（0，$\sqrt{\frac{1}{2a}}$）上，f′（x）＜0；在（$\sqrt{\frac{1}{2a}}$，+∞）上，f′（x）＞0．
所以當(dāng)x=$\sqrt{\frac{1}{2a}}$處取得極小值，也為最小值$\frac{1}{2}$-ln$\sqrt{\frac{1}{2a}}$，
令$\frac{1}{2}$-ln$\sqrt{\frac{1}{2a}}$=$\frac{3}{2}$，解得a=$\frac{1}{2}$e²，
則存在實(shí)數(shù)a=$\frac{1}{2}$e²，使f（x）的最小值為$\frac{3}{2}$；
（3）證明：由（2）得當(dāng)x＞0時(shí)，$\frac{1}{2}$e²x²-lnx≥$\frac{3}{2}$，
可令g（x）=$\frac{lnx}{x}$+1，則g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
當(dāng)0＜x＜e時(shí)，g′（x）＞0；當(dāng)x＞e時(shí)，g′（x）＜0．
則x=e處，g（x）取得最大值g（e）=1+$\frac{1}{e}$，
且1+$\frac{1}{e}$＜1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
則$\frac{1}{2}$e²x²-lnx＞$\frac{lnx}{x}$+1，
即e²x³-2x＞2（x+1）lnx．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式的證明，注意運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)法和分類(lèi)討論思想方法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．