Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的最大值；

（2）若，求證：.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立問題，通過分離變量的方式將問題轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)求得的最大值，進(jìn)而得到結(jié)果；

（2）將問題轉(zhuǎn)化為的證明；利用單調(diào)遞增和零點(diǎn)存在定理可確定存在，使得，從而得到；根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)可確定單調(diào)性，進(jìn)而得到，化簡(jiǎn)后，結(jié)合基本不等式可證得結(jié)論.

由函數(shù)解析式可知，定義域?yàn)?/span>.

（1），

在上是減函數(shù)，在上恒成立，即恒成立

令，則，在上單調(diào)遞增，

，，解得：，

的最大值為.

（2）由（1）知：，則，

在上單調(diào)遞增.

，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，

由零點(diǎn)存在定理可知，存在，使得，即，

.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，

（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)）.

當(dāng)時(shí)，.