15．將楊輝三角中的每一個數(shù)都換成分數(shù)，就得到一個如圖所示的分數(shù)三角形，稱為萊布尼茨三角形，從萊布尼茨三角形可看出

，其中x=______________.

令，則

r+1,

 

解析：第一問對比楊輝三角的性質(zhì)通過觀察、類比、歸納可知萊布尼茨三角形中每一行中的任一數(shù)都等于其“腳下”兩數(shù)的和，故此時x=r+1.第二問實質(zhì)上是求萊布尼茨三角形中從第三行起每一行的倒數(shù)第三項的和.即

an=

根據(jù)第一問所推出的結(jié)論只需在原式基礎(chǔ)上增加一項.則由每一行中的任一數(shù)都等于其“腳下”兩數(shù)的和,結(jié)合給出的數(shù)表可逐次向上求和為.

故an=-.從而

 

 


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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)將楊輝三角中的每一個數(shù)Cnr都換成
1
(n+1)
C
r
n
，就得到一個如下圖所示的分數(shù)三角形，成為萊布尼茨三角形，從萊布尼茨三角形可看出
1
(n+1)
C
r
n
+
1
(n+1)
C
x
n
=
1
n
C
r
n-1
，其中x=r+1，令an=
1
3
+
1
12
+
1
30
+
1
60
+…+
1
n
C
2
n-1
+
1
(n+1)
C
2
n
，則
lim
n→∞
an=
 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（06年湖北卷理）將楊輝三角中的每一個數(shù)都換成，就得到一個如下圖所示的分數(shù)三角形，成為萊布尼茨三角形，從萊布尼茨三角形可看出，其中        。

令，則        。

    

…

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（06年湖北卷理）將楊輝三角中的每一個數(shù)都換成，就得到一個如下圖所示的分數(shù)三角形，成為萊布尼茨三角形，從萊布尼茨三角形可看出，其中        。

令，則        。

    

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科目：高中數(shù)學 來源：2006年湖北省高考數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

將楊輝三角中的每一個數(shù)Cnr都換成，就得到一個如下圖所示的分數(shù)三角形，成為萊布尼茨三角形，從萊布尼茨三角形可看出，其中x=r+1，令，則=   

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