Question

若函數(shù)
（1）若f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，求m的范圍．
（2）當(dāng)m=1時(shí)，若a＞b＞1，比較f（a^ab^b4^a）與f[（a+b）^a+b]的大小，并說明理由．
（3）當(dāng)m=1時(shí)，設(shè){a_n}為正項(xiàng)數(shù)列，且n≥2時(shí)[f′（a_n）•f′（a_n-1）+]•a_n²=q，（其中q≥2010），a_n的前n項(xiàng)和為S_n，，若b_n≥2011n恒成立，求q的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）=，知=，x＞0．由f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，知x∈[1，+∞）時(shí)，恒成立．由此能導(dǎo)出m的范圍．
（2）當(dāng)m=1時(shí)，，x∈[1，+∞）時(shí)，，f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，要比較f（a^ab^a4^a）與f[（a+b）^a+b]的大小，即比較與的大小．由此能推導(dǎo)出f（a^ab^b4^a）＞f[（a+b）^a+b]．
（3）當(dāng)m=1時(shí)，，且，所以，由恒成立，q≥2010時(shí)，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，能夠推導(dǎo)出若b_n≥2011n恒成立，求q的最小值．
解答：解：（1）∵f（x）=，
∴
=，x＞0．
∵f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，
∴在[1，+∞）上恒大于或等于0，
即：x∈[1，+∞）時(shí)，恒成立．
又∵m∈R⁺，即：mx-1≥0恒成立．即：恒成立．
∴m的范圍為：[1，+∞）．…（4分）
（2）當(dāng)m=1時(shí)，，x∈[1，+∞）時(shí)，，
∴f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
要比較f（a^ab^a4^a）與f[（a+b）^a+b]的大小，
∵a^ab^b4^a＞1，且（a+b）^a+b＞1，
即比較a^ab^b4^a與（a+b）^a+b的大小．
即比較與的大�。�
∴-
=alog₂a+blog₂b+2a-（a+b）log₂（a+b）
=alog₂a+2a-alog₂（a+b）-blog₂（a+b）+blog₂b，
設(shè)g（x）=xlog₂x+2x-xlog₂（x+b）+blog₂b，x∈（b，+∞），
-
=log₂x+2-log₂（x+b）
=．
∵x＞b，
∴g′（x）＞0，∴g（x）在（b，+∞）單調(diào)遞增．
且a＞b，
∴g（a）＞g（b），
即：alog₂a+2a-alog₂（a+b）-blog₂（a+b）+blog₂b＞0，
∴，
∴f（a^ab^b4^a）＞f[（a+b）^a+b]．
（3）當(dāng)m=1時(shí)，，
且，
∴，
∴，
∴．
由：=，q≥2010，
∵b_n≥2011n恒成立，
即：恒成立，
顯然，q≥2010時(shí)，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，
且，
當(dāng)q≥2011時(shí)，中的每一項(xiàng)都大于2011，
∴恒成立，
當(dāng)q∈[2010，2011）時(shí)，由 數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，
且，
說明數(shù)列在有限項(xiàng)后必定小于2011，
設(shè)，
且數(shù)列{M_n}也為單調(diào)遞減數(shù)列，M₁≥0，
根據(jù)以上分析：數(shù)列中必有一項(xiàng)，
（設(shè)為第k項(xiàng)），（其中M_k≥0，且M_k+1＜0），
∵{M_n}為單調(diào)遞減數(shù)列，
∴+…+
=2011n+M₁+M₂+…+M_k+M_k+1+…+M_n
≤2011n+kM₁+M_k+1+…+M_n
≤2011n+kM₁+（n-k）M_k+1，
當(dāng)n→∞時(shí)，kM₁+（n-k）M_k+1＜0，
∴，
∴q∈[2010，2011）時(shí)，不滿足條件．
綜上所得：q_min=2011．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，要求學(xué)生理解“存在”、“恒成立”，以及運(yùn)用一般與特殊的關(guān)系進(jìn)行否定，本題有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易錯(cuò)點(diǎn)是數(shù)列中必有一項(xiàng)，（設(shè)為第k項(xiàng)），（其中M_k≥0，且M_k+1＜0）的推導(dǎo)過程．