Question

已知多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2a，AB=a，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AF⊥平面CDE；
（Ⅱ）求異面直線AC，BE所成角余弦值；
（Ⅲ）求面ACD和面BCE所成二面角的大小．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，
∴DE⊥AF．
又∵AC=AD=CD，F(xiàn)為CD中點(diǎn)，
∴AF⊥CD，
又CD∩DE=D，
∴AF⊥平面CDE．

（2）．
取DE中點(diǎn)M，連接AM、CM，則四邊形AMEB為平行四邊形，
AM∥BE，則∠CAM（或其補(bǔ)角）為AC與BE所成的角
在△ACM中，AC=2a，，．
由余弦定理得：
∴異面直線AC、AE所成的角的余弦值為
（Ⅲ）延長(zhǎng)DA、EB交于點(diǎn)G，連接CG．
因?yàn)锳B∥DE，AB=DE，所以A為GD中點(diǎn)
又因?yàn)镕為CD中點(diǎn)，所以CG∥AF
因?yàn)锳F⊥平面CDE，所以CG⊥平面CDE
故∠DCE為面ACD和面BCE所成二面角的平面角．
易求∠DCE=45°
分析：（Ⅰ）由已知易證DE⊥AF，且△ACD為正三角形，又證得AF⊥CD，進(jìn)而可得AF⊥平面CDE
（Ⅱ）取DE中點(diǎn)M，連接AM、CM，則四邊形AMEB為平行四邊形，AM∥BE，則∠CAM（或其補(bǔ)角）為AC與BE所成的角，在△ACM中解即可．
（Ⅲ）延長(zhǎng)DA、EB交于點(diǎn)G，連接CG，面ACD和面BCE所成二面角的平面角即為∠DCE，易解得為45°．
點(diǎn)評(píng)：本題考查線面位置關(guān)系的判定與證明，線線角、二面角的大小求解．考查空間想象、轉(zhuǎn)化、計(jì)算能力．對(duì)于“無(wú)棱的”二面角可通過(guò)延展半平面，找到棱，使問(wèn)題便于解決．