Question

15．設(shè)公差不為零的等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₄=2a₂+1，且S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=$\frac{n+1}{{S}_{n}•{S}_{n+2}}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過記等差數(shù)列{a_n}的公差為d，利用基本量表示出通項(xiàng)和前n項(xiàng)和，聯(lián)立a₄=2a₂+1與S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列可求出a₁=1、d=2，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）通過（1）裂項(xiàng)可知c_n=$\frac{1}{4}$[$\frac{1}{{n}^{2}}$-$\frac{1}{（n+2）^{2}}$]，進(jìn)而并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 解：（1）記等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由a₄=2a₂+1可知：a₁+3d=2（a₁+d）+1，
由S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列可知$（2{a}_{1}+d）^{2}$=a₁（4a₁+6d），
解得：a₁=1、d=2或a₁=-1、d=0（舍），
所以a_n=2n-1；
（2）由（1）可知S_n=$\frac{（1+2n-1）•n}{2}$=n²，c_n=$\frac{n+1}{{S}_{n}•{S}_{n+2}}$=$\frac{n+1}{{n}^{2}（n+2）^{2}}$=$\frac{1}{4}$[$\frac{1}{{n}^{2}}$-$\frac{1}{（n+2）^{2}}$]，
所以T_n=$\frac{1}{4}$[1-$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$-$\frac{1}{{4}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$-$\frac{1}{{5}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$-$\frac{1}{（n+2）^{2}}$]
=$\frac{1}{4}$[1+$\frac{1}{{2}^{2}}$-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$-$\frac{1}{（n+2）^{2}}$]
=$\frac{1}{4}$[$\frac{5}{4}$-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$-$\frac{1}{（n+2）^{2}}$]．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查裂項(xiàng)相消法，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．