【題目】記min{x,y}= 設(shè)f(x)=min{x2 , x3},則(
A.存在t>0,|f(t)+f(﹣t)|>f(t)﹣f(﹣t)
B.存在t>0,|f(t)﹣f(﹣t)|>f(t)﹣f(﹣t)
C.存在t>0,|f(1+t)+f(1﹣t)|>f(1+t)+f(1﹣t)
D.存在t>0,|f(1+t)﹣f(1﹣t)|>f(1+t)﹣f(1﹣t)

【答案】C
【解析】解:x2﹣x3=x2(1﹣x), ∴當(dāng)x≤1時(shí),x2﹣x3≥0,當(dāng)x>1時(shí),x2﹣x3<0,
∴f(x)=
若t>1,則|f(t)+f(﹣t)|=|t2+(﹣t)3|=|t2﹣t3|=t3﹣t2 ,
|f(t)﹣f(﹣t)|=|t2+t3|=t2+t3 ,
f(t)﹣f(﹣t)=t2﹣(﹣t)3=t2+t3 ,
若0<t<1,|f(t)+f(﹣t)|=|t3+(﹣t)3|=0,
|f(t)﹣f(﹣t)|=|t3+t3|=2t3 ,
f(t)﹣f(﹣t)=t3﹣(﹣t)3=2t3 ,
當(dāng)t=1時(shí),|f(t)+f(﹣t)|=|1+(﹣1)|=0,
|f(t)﹣f(﹣t)|=|1﹣(﹣1)|=2,
f(t)﹣f(﹣t)=1﹣(﹣1)=2,
∴當(dāng)t>0時(shí),|f(t)+f(﹣t)|<f(t)﹣f(﹣t),|f(t)﹣f(﹣t)|=f(t)﹣f(﹣t),
故A錯(cuò)誤,B錯(cuò)誤;
當(dāng)t>0時(shí),令g(t)=f(1+t)+f(1﹣t)=(1+t)2+(1﹣t)3=﹣t3+4t2﹣t+2,
則g′(t)=﹣3t2+8t﹣1,令g′(t)=0得﹣3t2+8t﹣1=0,
∴△=64﹣12=52,∴g(t)有兩個(gè)極值點(diǎn)t1 , t2 ,
∴g(t)在(t2 , +∞)上為減函數(shù),
∴存在t0>t2 , 使得g(t0)<0,
∴|g(t0)|>g(t0),
故C正確;
令h(t)=(1+t)﹣f(1﹣t)=(1+t)2﹣(1﹣t)3=t3﹣2t2+5t,
則h′(t)=3t2﹣4t+5=3(t﹣ 2+ >0,
∴h(t)在(0,+∞)上為增函數(shù),∴h(t)>h(0)=0,
∴|h(t)|=h(t),即|f(1+t)﹣f(1﹣t)|=f(1+t)﹣f(1﹣t),
故D錯(cuò)誤.
故選C.

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