Question

17．當x∈（0，+∞）時，不等式c²x²-（cx+1）lnx+cx≥0恒成立，則實數(shù)c的取值范圍是[$\frac{1}{e}$，+∞）．

Answer 1

分析 問題轉化為x∈（0，+∞）時，（xc-lnx）（xc+1）≥0恒成立，故有$\left\{\begin{array}{l}{c≥\frac{lnx}{x}}\\{c≥-\frac{1}{x}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{c≤\frac{lnx}{x}}\\{c≤-\frac{1}{x}}\end{array}\right.$恒成立，令f（x）=$\frac{lnx}{x}$，求出f（x）的最大值，從而求出c的范圍即可．

解答 解：當x∈（0，+∞）時，不等式c²x²-（cx+1）lnx+cx≥0恒成立，
即x∈（0，+∞）時，（xc-lnx）（xc+1）≥0恒成立，
即x∈（0，+∞）時，$\left\{\begin{array}{l}{c≥\frac{lnx}{x}}\\{c≥-\frac{1}{x}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{c≤\frac{lnx}{x}}\\{c≤-\frac{1}{x}}\end{array}\right.$，
令f（x）=$\frac{lnx}{x}$，f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜e，
令f′（x）＜0，解得：x＞e，
∴f（x）在（0，e）遞增，在（e，+∞）遞減，
∴f（x）_max=f（e）=$\frac{1}{e}$，而y=-$\frac{1}{x}$＜0，
故c≥$\frac{1}{e}$，
故答案為：[$\frac{1}{e}$，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)恒成問題，考查函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及轉化思想，是一道中檔題．