Question

16．已知三個(gè)數(shù)1，a，9成等比數(shù)列，則圓錐曲線$\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{2}=1$的離心率為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{5}$或$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$或$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$

Answer 1

分析 由已知求得a值，然后分類討論求得圓錐曲線$\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{2}=1$的離心率．

解答 解：∵三個(gè)數(shù)1，a，9成等比數(shù)列，
∴a²=9，則a=±3．
當(dāng)a=3時(shí)，曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，表示橢圓，則長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為$\sqrt{3}$，半焦距為1，離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
當(dāng)a=-3時(shí)，切線方程為$\frac{{y}^{2}}{2}-\frac{{x}^{2}}{3}=1$，實(shí)半軸長(zhǎng)為$\sqrt{2}$，半焦距為$\sqrt{5}$，離心率為$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓、雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．