Question

某公司研發(fā)甲、乙兩種新產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查預(yù)測(cè)，甲產(chǎn)品的利潤(rùn)y（單位：萬(wàn)元）與投資x（單位：萬(wàn)元）滿足：f（x）=alnx-bx+3（a，b∈R，a，b為常數(shù)），且曲線y=f（x）與直線y=kx在（1，3）點(diǎn)相切；乙產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資的算術(shù)平方根成正比，且其圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，4）．
（I）分別求甲、乙兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資資金間的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）已知該公司已籌集到40萬(wàn)元資金，并將全部投入甲、乙兩種產(chǎn)品的研發(fā)，每種產(chǎn)品投資均不少于10萬(wàn)元．問(wèn)怎樣分配這40萬(wàn)元投資，才能使該公司獲得最大利潤(rùn)？其最大利潤(rùn)約為多少萬(wàn)元？
（參考數(shù)據(jù)：ln=10=2.303，ln15=2.708，ln20=2.996，ln25=3.219，ln30=3.401）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（I）根據(jù)條件分別求出a，b，即可求出甲、乙兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資資金間的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）設(shè)甲產(chǎn)品投資x萬(wàn)元，則乙產(chǎn)品投資（40-x）萬(wàn)元，建立函數(shù)關(guān)系，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可．

解答： 解：（I）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=

a

x

-b，
∵（1，3）在直線y=kx上，
∴k=3，
∵曲線y=f（x）與直線y=kx在（1，3）點(diǎn)相切，
∴

f′(1)=a-b=3 f(1)=-b+3=3

，解得

a=3 b=0

，
即甲產(chǎn)品的利潤(rùn)y與投資x的關(guān)系式：f（x）=3lnx+3，
乙產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資資金間的函數(shù)關(guān)系式g（x）=m•

x

；
將（4，4）代入函數(shù)g（x）得

4

m=4，解得m=2．
故g（x）=2

x

，（x＞0）．
（Ⅱ）設(shè)甲產(chǎn)品投資x萬(wàn)元，則乙產(chǎn)品投資（40-x）萬(wàn)元，且x∈[10，30]，
則該公司所得利潤(rùn)為：y=3lnx+3+2

40-x

，
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=

3

x

-

1

40-x

，
由f′（x）＞0得10≤x＜15，
由f′（x）＜0得15＜x≤30，
即當(dāng)x=15時(shí)，函數(shù)取得極大值，同時(shí)也是最大值，
即最大值為y=3ln15+3+2

40-15

=3×2.708+13=21.124萬(wàn)元．
故當(dāng)甲產(chǎn)品投資15萬(wàn)元，則乙產(chǎn)品投資25萬(wàn)元時(shí)，公司取得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為21.124萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．考查導(dǎo)數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題．