Question

已知函數(shù)y=3sin（

1

2

x-

π

4

）．
（1）用“五點(diǎn)法”作函數(shù)的圖象；
（2）求此函數(shù)的最小正周期、對(duì)稱軸、對(duì)稱中心、單調(diào)遞增區(qū)間．
（3）說(shuō)出此圖象是由y=sinx的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變化得到的．

Answer 1

分析：（1）五點(diǎn)法作圖的五點(diǎn)分別是三個(gè)零點(diǎn)與兩個(gè)最值點(diǎn)，對(duì)此題五點(diǎn)的選取可令相位

1

2

x-

π

4

為0，

π

2

，π，

3π

2

，2π，求出相應(yīng)的x的值與y的值；
（2）由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)周期T=

2 π

ω

=

2 π

1 2

=4π，振幅A=3，初相是-

π

4

．結(jié)合圖象求出對(duì)稱軸方程、對(duì)稱中心的坐標(biāo)、及單調(diào)增區(qū)間．
（3）方法一：由圖象的變換規(guī)則知此函數(shù)是由y=sinx的圖象經(jīng)過(guò)先右移四個(gè)單位再將再所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），然后再將每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的三倍而等到的．
方法二：先把y=sinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），；再把所得圖象上所有的點(diǎn)向右平移

π

2

個(gè)單位，最后將y所得到的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍（橫坐標(biāo)不變），就得到y(tǒng)=3sin（

1

2

x-

π

4

）的圖象．

解答：解：（1）如圖

（2）由已知，周期T=

2 π

ω

=

2 π

1 2

=4π，振幅A=3，初相是-

π

4

．
由于y=3sin（

1

2

x-

π

4

）是周期函數(shù)，通過(guò)觀察圖象可知，所有與x軸垂直并且通過(guò)圖象的最值點(diǎn)的直線都是此函數(shù)的對(duì)稱軸，即令

1

2

x-

π

4

=

π

2

+kπ，解得直線方程為x=

3 π

2

+2kπ，k∈Z；
所有圖象與x軸的交點(diǎn)都是函數(shù)的對(duì)稱中心，所以對(duì)稱中心為點(diǎn)（

π

2

+2kπ，0），k∈Z；
x前的系數(shù)為正數(shù)，所以把

1

2

x-

π

4

視為一個(gè)整體，令-

π

2

+2kπ≤

1

2

x-

π

4

≤

π

2

+2kπ，
解得[-

π

2

+4kπ，

3 π

2

+4kπ]，k∈Z為此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．
（3）方法一：“先平移，后伸縮”．
先把y=sinx的圖象上所有的點(diǎn)向右平移

π

4

個(gè)單位，得到y(tǒng)=sin（x-

π

4

）的圖象；再把y=sin（x-

π

4

）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到y(tǒng)=sin（

1

2

x-

π

4

）的圖象；最后將y=sin（

1

2

x-

π

4

）的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍（橫坐標(biāo)不變），就得到y(tǒng)=3sin（

1

2

x-

π

4

）的圖象．
方法二：“先伸縮，后平移”．
先把y=sinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到y(tǒng)=sin（

1

2

x）的圖象；再把y=sin（x）圖象上所有的點(diǎn)向右平移

π

2

個(gè)單位，得到y(tǒng)=sin

1

2

（x-

π

2

）=sin（

x

2

-

π

4

）的圖象；最后將y=sin（

1

2

x-

π

4

）的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍（橫坐標(biāo)不變），就得到y(tǒng)=3sin（

1

2

x-

π

4

）的圖象．

點(diǎn)評(píng)：考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，本題全面地考查了三角函數(shù)圖象的畫法，函數(shù)圖象的平移，函數(shù)圖象的對(duì)稱性與圖象的上升與下降趨勢(shì)．涉及知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)．