Question

已知函數(shù)（為常數(shù)），函數(shù)定義為：對每一個給定的實數(shù)，
（1）求證：當滿足條件時，對于,；
（2）設(shè)是兩個實數(shù)，滿足，且，若，求函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間的長度之和.（閉區(qū)間的長度定義為）

Answer 1

（1）詳見解析（2）

試題分析：（1）由分析可知的解析式就是取中較小的一個。所以等價于，將此不等式轉(zhuǎn)化成指數(shù)函數(shù)不等式，根據(jù)指數(shù)的運算法則，應將除過去用公式，再將不等式左邊的2也化為以3為底的對數(shù)，依據(jù)的公式是。再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解同底的對數(shù)不等式。最后根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)放縮不等式，即可求解。（2）根據(jù)（1）中所證已知時，，圖形關(guān)于對稱，且在兩側(cè)單調(diào)性相反。若則為的中點。即可求得函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間的長度。當時，當時，當時，當時解圖象交點的橫坐標，根據(jù)圖像得的解析式。再根據(jù)圖像得增區(qū)間，再求增區(qū)間的長度。
試題解析：（1）由的定義可知，（對所有實數(shù)）等價于（對所有實數(shù)）這又等價于，即對所有實數(shù)均成立. （*） 由于的最大值為， 故（*）等價于，即，所以當時，
（2）分兩種情形討論
（i）當時，由（1）知（對所有實數(shù)）
則由及易知，
再由的單調(diào)性可知，
函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度
為（參見示意圖1）

（ii）時，不妨設(shè)，則，于是
當時，有，從而；
當時，有
從而  ；
當時，，及，由方程
解得圖象交點的橫坐標為
              ⑴
顯然，

這表明在與之間。由⑴易知

綜上可知，在區(qū)間上，  （參見示意圖2）
故由函數(shù)及的單調(diào)性可知，在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度之和為，由于，即，得
         ⑵
故由⑴、⑵得
綜合（i）（ii）可知，在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度和為。