Question

【題目】已知點(diǎn)A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直線y＝ax+b（a＞0）將△ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是（　�。�

A.（0，1）B.C.D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

先求得直線y＝ax+b（a＞0）與x軸的交點(diǎn)為M（，0），由0可得點(diǎn)M在射線OA上．求出直線和BC的交點(diǎn)N的坐標(biāo)，①若點(diǎn)M和點(diǎn)A重合，求得b；②若點(diǎn)M在點(diǎn)O和點(diǎn)A之間，求得b； ③若點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)，求得b＞1．再把以上得到的三個(gè)b的范圍取并集，可得結(jié)果．

由題意可得，三角形ABC的面積為 1，

由于直線y＝ax+b（a＞0）與x軸的交點(diǎn)為M（，0），

由直線y＝ax+b（a＞0）將△ABC分割為面積相等的兩部分，可得b＞0，

故0，故點(diǎn)M在射線OA上．

設(shè)直線y＝ax+b和BC的交點(diǎn)為N，則由可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，）．

①若點(diǎn)M和點(diǎn)A重合，如圖：

則點(diǎn)N為線段BC的中點(diǎn)，故N（，），

把A、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線y＝ax+b，求得a＝b．

②若點(diǎn)M在點(diǎn)O和點(diǎn)A之間，如圖：

此時(shí)b，點(diǎn)N在點(diǎn)B和點(diǎn)C之間，

由題意可得三角形NMB的面積等于，

即，即 ，可得a0，求得 b，

故有b．

③若點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)，

則b，由點(diǎn)M的橫坐標(biāo)1，求得b＞a．

設(shè)直線y＝ax+b和AC的交點(diǎn)為P，則由 求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，），

此時(shí)，由題意可得，三角形CPN的面積等于，即 （1﹣b）|xN﹣xP|，

即（1﹣b）||，化簡(jiǎn)可得2（1﹣b）2＝|a2﹣1|．

由于此時(shí) b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2＝|a2﹣1|＝1﹣a2 ．

兩邊開方可得 （1﹣b）1，∴1﹣b，化簡(jiǎn)可得 b＞1，

故有1b．

綜上可得b的取值范圍應(yīng)是 ，

故選：B．