已知橢圓：的短軸長為，且斜率為的直線過橢圓的焦點(diǎn)及點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知直線過橢圓的左焦點(diǎn)，交橢圓于點(diǎn)P、Q.
（�。┤魸M足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的面積；
（ⅱ）若直線與兩坐標(biāo)軸都不垂直，點(diǎn)在軸上，且使為的一條角平分線，則稱點(diǎn)為橢圓的“特征點(diǎn)”，求橢圓的特征點(diǎn)．

（1）；（2）（�。�2，（ⅱ）

解析試題分析：（1）由短軸長得，由焦點(diǎn)和點(diǎn)可算出斜率為，可以得到焦點(diǎn)坐標(biāo)，所以可以得橢圓的方程。（2）（�。┯上蛄康臄�(shù)量積公式及三角形面積公式可得出結(jié)果。（ⅱ）設(shè)直線的方程，但是不需要求的方程，通過與橢圓聯(lián)立方程組進(jìn)行求解。
試題解析：（1）由題意可知，直線的方程為，         1分
∵直線過橢圓的焦點(diǎn)，∴該焦點(diǎn)坐標(biāo)為∴    2分
又橢圓的短軸長為，∴，∴   3分
∴橢圓的方程為   4分
（2）（�。�
∴   6分
∴    8分
（ⅱ）設(shè)特征點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，可設(shè)直線PQ的方程為，
由消去得
設(shè)，則
     10分
∵為的一條角平分線，
∴，即          12分
又，，代入上式可得

∴，解得
∴橢圓C的特征點(diǎn)為．                     14分
考點(diǎn)：圓錐曲線與其他知識(shí)的綜合

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

橢圓的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)的距離為．
(1) 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2) 若直線與橢圓相交于兩點(diǎn)(不是左右頂點(diǎn))，且以為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線：，在此拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是3.
（1）求此拋物線的方程；
（2）拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)斜率為的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)．是否存在這樣的，使得拋物線上總存在點(diǎn)滿足，若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，F(xiàn)是中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的右焦點(diǎn)，直線l：x＝4是橢圓C的右準(zhǔn)線，F(xiàn)到直線l的距離等于3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）點(diǎn)P是橢圓C上動(dòng)點(diǎn)，PM⊥l，垂足為M．是否存在點(diǎn)P，使得△FPM為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，且
（1）求橢圓的離心率；
（2）已知是過三點(diǎn)的圓上的點(diǎn)，若的面積為，求點(diǎn)到直線距離的最大值。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2之間的距離為2，橢圓上第一象限內(nèi)的點(diǎn)P滿足PF1⊥PF2，且△PF1F2的面積為1．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若橢圓C的右頂點(diǎn)為A，直線l：y＝kx＋m(k≠0)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，且滿足AM⊥AN．求證：直線l過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓過點(diǎn)，且離心率為.斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，以為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為.
（1）求橢圓的方程；
（2）求的面積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，為橢圓在軸正半軸上的焦點(diǎn)，、兩點(diǎn)在橢圓上，且，定點(diǎn).
（1）求證：當(dāng)時(shí)；
（2）若當(dāng)時(shí)有，求橢圓的方程；
（3）在（2）的橢圓中，當(dāng)、兩點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試判斷 是否有最大值，若存在，求出最大值，并求出這時(shí)、兩點(diǎn)所在直線方程，若不存在，給出理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

橢圓的離心率為，若直線與其一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則的值為                

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案