對于函數(shù)f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，則稱x0為f（x）的不動點.

已知函數(shù)f（x）=ax2+（b+1）x+（b－1）（a≠0）.

（1）當a=1，b=－2時，求函數(shù)f（x）的不動點；

（2）若對任意實數(shù)b，函數(shù)f（x）恒有兩個相異的不動點，求a的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，若y=f（x）圖象上A、B兩點的橫坐標是函數(shù)f（x）的不動點，且A、B兩點關(guān)于直線y=kx+對稱，求b的最小值.

 

答案：
解析：

解：（1）f（x）=x2－x－3，因為x0為不動點，因此有f（x0）=x02－x0－3=x0

所以x0=－1或x0=3，所以3和－1為f（x）的不動點.

（2）因為f（x）恒有兩個不動點，f（x）=ax2+（b+1）x+（b－1）=x，ax2+bx+（b－1）=0（※），由題設(shè)b2－4a（b－1）＞0恒成立，即對于任意b∈R，b2－4ab+4a＞0恒成立，所以有（4a）2－4（4a）＜0a2－a＜0，所以0＜a＜1.

（3）由（※）式，得，由題設(shè)k=－1，即y=－x+，設(shè)A、B的中點為E，則E（），因為xE=yE，所以－

所以有b=－，因為0＜a＜1.當且僅當2a=時，即a=時，b取得最小值，其最小值為－.

 


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于函數(shù)f（x），若存在區(qū)間M=[a，b]（其中a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，則稱區(qū)間M為函數(shù)f（x）的一個“穩(wěn)定區(qū)間”．給出下列4個函數(shù)：
①f（x）=（x-1）2；②f（x）=|2x-1|；③f(x)=cos
π2
x；④f（x）=ex．其中存在“穩(wěn)定區(qū)間”的函數(shù)有
 
（填出所有滿足條件的函數(shù)序號）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于函數(shù)f（x），若在其定義域內(nèi)存在兩個實數(shù)a，b（a＜b），使當x∈[a，b]時，f（x）的值域也是[a，b]，則稱函數(shù)f（x）為“科比函數(shù)”．若函數(shù)f（x）=k+
x+2
是“科比函數(shù)”，則實數(shù)k的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于函數(shù)f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，則稱x0為f（x）的不動點．如果函數(shù)
f（x）=ax2+bx+1（a＞0）有兩個相異的不動點x1，x2．
（1）若x1＜1＜x2，且f（x）的圖象關(guān)于直線x=m對稱，求證：
12
＜m＜1；
（2）若|x1|＜2且|x1-x2|=2，求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于函數(shù)f（x），若f（x0）=x0，則稱x0為f（x）的：“不動點”；若f[f（x0）]=x0，則稱x0為f（x）的“穩(wěn)定點”．函數(shù)f（x）的“不動點”和“穩(wěn)定點”的集合分別記為A和B，即A={x|f[f（x）]=x}．
（1）設(shè)函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0），且A=∅，求證：B=∅；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=3x+4，求集合A和B，并分析能否根據(jù)（1）（2）中的結(jié)論判斷A=B恒成立？若能，請給出證明，若不能，請舉以反例．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于函數(shù)f（x），若存在x0∈R，使得f（x0）=x0，則稱x0為函數(shù)f（x）的不動點．若函數(shù)f（x）=
x2+a
bx-c
（b，c∈N*）有且僅有兩個不動點0和2，且f（-2）＜-
1
2
．
（1）試求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，
（2）已知各項不為0的數(shù)列{an}滿足4Sn•f（
1
an
）=1，其中Sn表示數(shù)列{an}的前n項和，求證：(1-
1
an
)an+1＜
1
e
＜(1-
1
an
)an
（3）在（2）的前題條件下，設(shè)bn=-
1
an
，Tn表示數(shù)列{bn}的前n項和，求證：T2011-1＜ln2011＜T2010．

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