Question

試就實數(shù)k的取值，討論|x²-2x-3|=k的解的個數(shù)．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：先畫出函數(shù)y=|x²-2x-3|及y=k的圖象，利用圖象容易是問題獲得解答．

解答： 解：先做出函數(shù)y=x²-2x-3的圖象，易知y=（x-1）²-4
然后保留其x軸上方的圖象，再將x軸下方的圖象沿x軸對稱上來，即可得到y(tǒng)=|x²-2x-3|的圖象，
則原方程根的個數(shù)即為y=|x²-2x-3|的圖象與y=k圖象交點的個數(shù)．
如圖：
（1）當k＜0時，直線y=k與函數(shù)y=|x²-2x-3|無交點，故原方程無根；
（2）當k=0或k＞4時，直線y=k與函數(shù)y=|x²-2x-3|有兩個交點，故原方程有兩個實數(shù)根；
（3）當k=4時，直線y=k與函數(shù)y=|x²-2x-3|有三個交點，故原方程有三個實數(shù)根；
（4）當0＜k＜4時，直線y=k與函數(shù)y=|x²-2x-3|有四個交點，故原方程有四個實數(shù)根．

點評：此題考查了方程的根、函數(shù)的零點之間的關系，一般采用數(shù)形結合的思想方法解決．