Question

如圖，菱形ABCD與矩形BDEF所在平面互相垂直，∠BAD=

π

3

．
（Ⅰ）求證：FC∥平面AED；
（Ⅱ）若BF=k•BD，當二面角A-EF-C為直二面角時，求k的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求直線BC與平面AEF所成的角θ的正弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）通過證明平面FBC∥平面EDA，即可證明FC∥平面AED；
（Ⅱ）取EF，BD的中點M，N．說明∠AMC就是二面角A-EF-C的平面角，利用二面角A-EF-C為直二面角，即可求k的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求直線BC與平面AEF所成的角θ的正弦值．
幾何方法：由（Ⅱ）CM⊥平面AEF，欲求直線BC與平面AEF所成的角，先求BC與MC所成的角，連結BM，設BC=2．
則在△MBC中，求解即可
（Ⅲ）向量方法：
以D為原點，DC為y軸、DE為z軸建立如圖的直角坐標系，設AD=2．求出平面AEF的法向量

n

=

MC

=(-

3

2

，

3

2

，-

3

)，通過cos?

n

，

CB

＞=

n • CB

| n || CB |

=-

6

4

．然后求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）證明：∵FB∥ED，BC∥AD，∴平面FBC∥平面EDA．
故FC∥平面AED----------------（5分）
（Ⅱ）取EF，BD的中點M，N．由于AE=AF，CE=CF，
所以AM⊥EF，CM⊥EF，∠AMC就是二面角A-EF-C的平面角-------（8分）
當二面角A-EF-C為直二面角時，MN=AN=

3

2

BD，即k=

3

2

．---（10分）
（Ⅲ）幾何方法：
由（Ⅱ）CM⊥平面AEF，欲求直線BC與平面AEF所成的角，先求BC與MC所成的角．--------（12分）
連結BM，設BC=2．
則在△MBC中，CM=

2

MN=

2

•

3

=

6

，MB=2，
cos∠MCB=

MC2+BC2-MB2

2MC•BC

=-

6

4

．
∴sinθ=

6

4

．----------------（14分）
（Ⅲ）向量方法：
以D為原點，DC為y軸、DE為z軸
建立如圖的直角坐標系，設AD=2．

則M(

3

2

，

1

2

，

3

)，C（0，2，0），平面AEF的法向量

n

=

MC

=(-

3

2

，

3

2

，-

3

)，-------（12分）

CB

=

DA

=(

3

，-1，0).cos?

n

，

CB

＞=

n • CB

| n || CB |

=-

6

4

．∴sinθ=

6

4

．---------------（14分）
注：用常規(guī)算法求法向量，或建立其它坐標系計算的，均參考以上評分標準給分

點評：本題考查直線與平面平行的判斷方法，二面角的平面角的應用與求法，直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力以及計算能力，轉化思想的應用．