Question

為了對(duì)某校高三（1）班9月調(diào)考成績進(jìn)行分析，在全班同學(xué)中隨機(jī)抽出5位，他們的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)、物理分?jǐn)?shù)、化學(xué)分?jǐn)?shù)（均已折算為百分制）對(duì)應(yīng)如下表：

學(xué)生編號(hào)	1	2	3	4	5
數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)x	75	80	85	90	95
物理分?jǐn)?shù)y	73	77	80	87	88
化學(xué)分?jǐn)?shù)z	78	85	87	89	91

（I）求這5位同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理分?jǐn)?shù)都不小于85分的概率；
（II）從散點(diǎn)圖分析，y與x、x與x之間都有較好的線性相關(guān)關(guān)系，分別求y與x、z與x的線性回歸方程，并用相關(guān)指數(shù)比較所求回歸模型的擬合效果．

Answer 1

分析：（I）這5位同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理分?jǐn)?shù)都不小于85分，共有2人，故可得概率；
（II）根據(jù)最小二乘法計(jì)算可得回歸方程中的b和a，回歸直線方程即得，通過相關(guān)指數(shù)R²的計(jì)算可以得到回歸方程的擬合程度．

解答：解：（I）這5位同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理分?jǐn)?shù)都不小于85分，共有2人，故概率為P=

2

5

；
（II）設(shè)y與x、z與x的線性回歸方程分別是?

∧

y

=bx+a、

∧

z

=b′x+a′，
根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出b=

200

250

=0.8，a=81-0.8×85=13，b′=

150

250

=0.6，a′=86-0.6×85=35．
∴

∧

y

=0.8x+13、

∧

z

=0.6x+35，
∴

5

i=1

（y_i-

∧

yi

）²=0²+0²+（-1）²+2²+（-1）²=6，
∴

5

i=1

（z_i-

∧

zi

）²=（-2）²+2²+1²+0²+（-1）²=10，
又y與x、z與x的相關(guān)指數(shù)是R²=1-

6

166

≈0.964、R′²=1-

10

100

≈0.90．
故回歸模型

∧

y

=0.8x+13比回歸模型?

∧

z

=0.6x+35的擬合的效果好．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率、相關(guān)系數(shù)的運(yùn)算、回歸直線方程的求法和回歸模型的擬合效果判斷等多方面知識(shí)和方法．