Question

過橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左頂點A的斜率為k的直線交橢圓C于另一個點B，且點B在x軸上的射影恰好為右焦點F，若

1

3

＜k＜

1

2

，則橢圓離心率的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：先作出圖形，則易知|AF₂|=a+c，|BF₂|=

a2-c2

a

，再由∠BAF₂是直線的傾斜角，易得k=tan∠BAF₂=

|BF2|

|AF2|

= 

a2-c2

a(a+c)

，然后通過

1

3

＜k＜

1

2

可得

1

3

 ＜

a2-c2

a(a+c)

＜

1

2

，再分子分母同除a²得

1

3

＜

1 -e2

1+e

＜

1

2

求解．

解答：解：如圖所示：|AF₂|=a+c，|BF₂|=

a2-c2

a

，
∴k=tan∠BAF₂=

|BF2|

|AF2|

= 

a2-c2

a(a+c)

，
又∵

1

3

＜k＜

1

2

，
∴

1

3

 ＜

a2-c2

a(a+c)

＜

1

2

，
∴

1

3

＜

1 -e2

1+e

＜

1

2

，
∴

1

2

＜e＜

2

3

，
故答案為：(

1

2

，

2

3

)．

點評：本題考查了橢圓與直線的位置關(guān)系及橢圓的幾何性質(zhì)和直線的斜率與傾斜角，難度不大，但需要靈活運用和轉(zhuǎn)化知識．