【題目】(12分)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程,檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件,并測(cè)量其尺寸(單位:cm).根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ,σ2).
(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之外的零件數(shù),求P(X≥1)及X的數(shù)學(xué)期望;
(2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查.
(ⅰ)試說(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性;
(ⅱ)下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸:
9.95 | 10.12 | 9.96 | 9.96 | 10.01 | 9.92 | 9.98 | 10.04 |
10.26 | 9.91 | 10.13 | 10.02 | 9.22 | 10.04 | 10.05 | 9.95 |
經(jīng)計(jì)算得,,其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸,i=1,2,…,16.
用樣本平均數(shù)作為μ的估計(jì)值,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值,利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查?剔除之外的數(shù)據(jù),用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)μ和σ(精確到0.01).
附:若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ–3σ<Z<μ+3σ)=0.997 4,0.997 416≈0.959 2,.
【答案】(1)的數(shù)學(xué)期望為
(2)詳見(jiàn)解析
【解析】(1)抽取的一個(gè)零件的尺寸在之內(nèi)的概率為0.9974,從而零件的尺寸在之外的概率為0.0026,故.因此
.
的數(shù)學(xué)期望為.
(2)(i)如果生產(chǎn)狀態(tài)正常,一個(gè)零件尺寸在之外的概率只有0.0026,一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中,出現(xiàn)尺寸在之外的零件的概率只有0.0408,發(fā)生的概率很小.因此一旦發(fā)生這種情況,就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查,可見(jiàn)上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程的方法是合理的.
(ii)由,得的估計(jì)值為,的估計(jì)值為,由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個(gè)零件的尺寸在之外,因此需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查.
剔除之外的數(shù)據(jù)9.22,剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,因此的估計(jì)值為10.02.
,剔除之外的數(shù)據(jù)9.22,剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為,
因此的估計(jì)值為.
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【題目】已知θ為向量 與 的夾角,| |=2,| |=1,關(guān)于x的一元二次方程x2﹣| |x+ =0有實(shí)根.
(Ⅰ)求θ的取值范圍;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,求函數(shù)f(θ)=sin(2θ+ )的最值及對(duì)應(yīng)的θ的值.
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【題目】如圖,三棱柱中, 平面, , 是上的動(dòng)點(diǎn), .
(Ⅰ)若點(diǎn)是中點(diǎn),證明:平面平面;
(Ⅱ)判斷點(diǎn)到平面的距離是否為定值?若是,求出定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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【題目】某鮮花店根據(jù)以往某品種鮮花的銷(xiāo)售記錄,繪制出日銷(xiāo)售量的頻率分布直方圖,如圖所示.將日銷(xiāo)售量落入各組區(qū)間的頻率視為概率,且假設(shè)每天的銷(xiāo)售量相互獨(dú)立.
(1)求在未來(lái)的連續(xù)4天中,有2天的日銷(xiāo)售量低于100枝且另外2天不低于150枝的概率;
(2)用表示在未來(lái)4天里日銷(xiāo)售量不低于100枝的天數(shù),求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】已知圓: 和拋物線: , 為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)已知直線和圓相切,與拋物線交于兩點(diǎn),且滿(mǎn)足,求直線的方程;
(2)過(guò)拋物線上一點(diǎn)作兩直線和圓相切,且分別交拋物線于兩點(diǎn),若直線的斜率為,求點(diǎn)的坐標(biāo).
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【題目】若一個(gè)四棱錐底面為正方形,頂點(diǎn)在底面的射影為正方形的中心,且該四棱錐的體積為9,當(dāng)其外接球表面積最小時(shí),它的高為( )
A.3
B.2
C.2
D.3
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【題目】某中學(xué)團(tuán)委組織了“弘揚(yáng)奧運(yùn)精神,愛(ài)我中華”的知識(shí)競(jìng)賽,從參加考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生,將其成績(jī)(均為整數(shù))分成六段[40,50),[50,60),…,[90,100]后畫(huà)出如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形給出的信息,回答下列問(wèn)題:
(1)求第四小組的頻率,并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖;
(2)估計(jì)這次考試的及格率(60分及以上為及格)和平均分;
(3)從成績(jī)是[40,50)和[90,100]的學(xué)生中選兩人,求他們?cè)谕环謹(jǐn)?shù)段的概率.
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【題目】一直線l過(guò)直線l1:3x﹣y=3和直線l2:x﹣2y=2的交點(diǎn)P,且與直線l3:x﹣y+1=0垂直.
(1)求直線l的方程;
(2)若直線l與圓心在x正半軸上的半徑為 的圓C相切,求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
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