Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（x＞0），數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足（n∈N^*，且n≥2）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）^n-1a_na_n+1，若T_n≥tn²對(duì)n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（3）是否存在以a₁為首項(xiàng)，公比為q（0＜q＜5，q∈N^*）的數(shù)列，k∈N^*，使得數(shù)列中每一項(xiàng)都是數(shù)列{a_n}中不同的項(xiàng)，若存在，求出所有滿(mǎn)足條件的數(shù)列{n_k}的通項(xiàng)公式；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，（n∈N^*，且n≥2），知．再由a₁=1，能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)n=2m，m∈N*時(shí)，T_n=T_2m=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅++（-1）^2m-1a_2ma_2m+1=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）++a_2m（a_2m-1-a_2m+1）===．當(dāng)n=2m-1，m∈N*時(shí)，T_n=T_2m-1=T_2m-（-1）^2m-1a_2ma_2m+1==．由此入手能求出實(shí)數(shù)t的取值范圍．
（3）由，知數(shù)列{a_n}中每一項(xiàng)都不可能是偶數(shù)．如存在以a₁為首項(xiàng)，公比q為2或4的數(shù)列{a_nk}，k∈N^*，此時(shí){a_nk}中每一項(xiàng)除第一項(xiàng)外都是偶數(shù)，故不存在以a₁為首項(xiàng)，公比為偶數(shù)的數(shù)列{a_nk}．當(dāng)q=1時(shí)，顯然不存在這樣的數(shù)列{a_nk}．當(dāng)q=3時(shí)，，n₁=1，，．所以滿(mǎn)足條件的數(shù)列{n_k}的通項(xiàng)公式為．
解答：解：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213844116246078/SYS201310232138441162460020_DA/12.png">，（n∈N^*，且n≥2），
所以a_n-a_n-1=．（2分）
因?yàn)閍₁=1，
所以數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列．
所以a_n=．（4分）
（2）①當(dāng)n=2m，m∈N*時(shí)，T_n=T_2m=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅++（-1）^2m-1a_2ma_2m+1=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）++a_2m（a_2m-1-a_2m+1）=-=-=-．（6分）
②當(dāng)n=2m-1，m∈N*時(shí)，T_n=T_2m-1=T_2m-（-1）^2m-1a_2ma_2m+1=-=．（8分）
所以T_n=
要使T_n≥tn²對(duì)n∈N^*恒成立，
只要使-，（n為偶數(shù)）恒成立．
只要使-，對(duì)n為偶數(shù)恒成立，
故實(shí)數(shù)t的取值范圍為．（10分）
（3）由a_n=，知數(shù)列{a_n}中每一項(xiàng)都不可能是偶數(shù)．
①如存在以a₁為首項(xiàng)，公比q為2或4的數(shù)列{a_nk}，k∈N^*，
此時(shí){a_nk}中每一項(xiàng)除第一項(xiàng)外都是偶數(shù)，故不存在以a₁為首項(xiàng)，公比為偶數(shù)的數(shù)列{a_nk}．（12分）
②當(dāng)q=1時(shí)，顯然不存在這樣的數(shù)列{a_nk}．
當(dāng)q=3時(shí)，若存在以a₁為首項(xiàng)，公比為3的數(shù)列{a_nk}，k∈N^*．
則=1，n₁=1，=，n_k=．
所以滿(mǎn)足條件的數(shù)列{n_k}的通項(xiàng)公式為n_k=．（16分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意公式的合理運(yùn)用．