【題目】(本小題共13分)
已知, 或1, ,對于, 表示U和V中相對應的元素不同的個數(shù).
(Ⅰ)令,存在m個,使得,寫出m的值;
(Ⅱ)令,若,求證: ;
(Ⅲ)令,若,求所有之和.
【答案】解:(Ⅰ) ; ………3分
(Ⅱ)證明:令,
∵或1, 或1;
當, 時,
當, 時,
當, 時,
當, 時,
故
∴
………8分
(Ⅲ)解:易知中共有個元素,分別記為
∵的共有個, 的共有個.
∴
=
= ……13分
∴= .
法二:根據(jù)(Ⅰ)知使的共有個
∴=
=
兩式相加得=
(若用其他方法解題,請酌情給分)
【解析】試題分析:本題是綜合考查集合推理綜合的應用,這道題目的難點主要出現(xiàn)在讀題上,需要仔細分析,以找出解題的突破點,題目所給的條件其實包含兩個定義,第一個是關于的,其實中的元素就是一個n維的坐標,其中每個坐標都是0或者1,也可以這樣理解,就是一個n位數(shù)字的數(shù)組,每個數(shù)字都只能是0或1,第二個定義.第一問,根據(jù),且及的意義:表示U和V中相應的元素不同的個數(shù),可知;第二問,根據(jù)或1, ,分類討論, 時, ;當, 時, ;當, 時, ;當, 時, ;可證, ,再相加即可證明結論;第三問,結合第一問,得出使的共有個,分別計算出和,再相加即可.
試題解析:(Ⅰ) ;
(Ⅱ)證明:令,
∵或1, 或1;
當, 時,
當, 時,
當, 時,
當, 時,
故
∴
(Ⅲ)解:易知中共有個元素,分別記為
∵的共有個, 的共有個.
∴
=
=
∴= .
法二:根據(jù)(Ⅰ)知使的共有個,
∴=
=
兩式相加得=
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校為了解甲、乙兩班學生的學業(yè)水平,從兩班中各隨機抽取人參加學業(yè)水平等級考試,得到學生的學業(yè)成績莖葉圖如圖:
(Ⅰ)通過莖葉圖比較甲、乙兩班學生的學業(yè)成績平均值與及方差與的大小;(只需寫出結論)
(Ⅱ)根據(jù)學生的學業(yè)成績,將學業(yè)水平分為三個等級:
根據(jù)所給數(shù)據(jù),頻率可以視為相應的概率.
(i)從甲、乙兩班中各隨機抽取人,記事件:“抽到的甲班學生的學業(yè)水平高于乙班學生的學業(yè)水平等級”,求發(fā)生的概率;
(ii)從甲班中隨機抽取人,記為學業(yè)水平優(yōu)秀的人數(shù),求的分布列和數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),對任意的x∈R,恒有f′(x)≤f(x).
(1)證明:當x≥0時,f(x)≤(x+c)2;
(2)若對滿足題設條件的任意b,c,不等式f(c)-f(b)≤M(c2-b2)恒成立,求M的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AD⊥AB,∠CAB=60°,∠BCD=120°,AC=2.
(1)若∠ABC=30°,求DC;
(2)記∠ABC=θ,當θ為何值時,△BCD的面積有最小值?求出最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).
(1)求,判斷函數(shù)的單調性并證明.
(2)對任意的,不等式恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設全集U=R,集合A={x|1≤x<4},B={x|2a≤x<3-a}.
(1)若a=-2,求B∩A,B∩(UA);(2)若A∪B=A,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設f(x)="xln" x–ax2+(2a–1)x,aR.
(Ⅰ)令g(x)=f'(x),求g(x)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)已知f(x)在x=1處取得極大值.求實數(shù)a的取值范圍.
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