Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一點(diǎn)A（2，4）．
（1）設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x=6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B、C兩點(diǎn)，且BC=OA，求直線l的方程；
（3）設(shè)點(diǎn)T（t，0）滿足：存在圓M上的兩點(diǎn)P和Q，使得 + = ，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵N在直線x=6上，∴設(shè)N（6，n），

∵圓N與x軸相切，∴圓N為：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2，n＞0，

又圓N與圓M外切，圓M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0，即圓M：（x﹣6）2+（x﹣7）2=25，

∴|7﹣n|=|n|+5，解得n=1，

∴圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣6）2+（y﹣1）2=1

（2）解：由題意得OA=2 ，kOA=2，設(shè)l：y=2x+b，

則圓心M到直線l的距離：d= = ，

則|BC|=2 =2 ，BC=2 ，即2 =2 ，

解得b=5或b=﹣15，

∴直線l的方程為：y=2x+5或y=2x﹣15

（3）解： = ，即 ，即| |=| |，

| |= ，

又| |≤10，即 ≤10，解得t∈[2﹣2 ，2+2 ]，

對(duì)于任意t∈[2﹣2 ，2+2 ]，欲使 ，

此時(shí)，| |≤10，

只需要作直線TA的平行線，使圓心到直線的距離為 ，

必然與圓交于P、Q兩點(diǎn)，此時(shí)| |=| |，即 ，

因此實(shí)數(shù)t的取值范圍為t∈[2﹣2 ，2+2 ]

【解析】（1）設(shè)N（6，n），則圓N為：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2 ， n＞0，從而得到|7﹣n|=|n|+5，由此能求出圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）由題意得OA=2 ，kOA=2，設(shè)l：y=2x+b，則圓心M到直線l的距離：d= ，由此能求出直線l的方程．（3） = ，即| |= ，又| |≤10，得t∈[2﹣2 ，2+2 ]，對(duì)于任意t∈[2﹣2 ，2+2 ]，欲使 ，只需要作直線TA的平行線，使圓心到直線的距離為 ，由此能求出實(shí)數(shù)t的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】利用圓的一般方程對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知圓的一般方程的特點(diǎn)：(1)①x2和y2的系數(shù)相同，不等于0．②沒(méi)有xy這樣的二次項(xiàng)；(2)圓的一般方程中有三個(gè)特定的系數(shù)D、E、F，因之只要求出這三個(gè)系數(shù)，圓的方程就確定了；(3)、與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小，幾何特征較明顯．