【題目】如圖1,在等腰梯形ABCD中,,,,E為AD的中點(diǎn).現(xiàn)分別沿BE,EC將△ABE 和△ECD折起,使得平面ABE⊥平面BCE,平面ECD⊥平面BCE,連接AD,如圖2.
(1)若在平面BCE內(nèi)存在點(diǎn)G,使得GD∥平面ABE,請(qǐng)問(wèn)點(diǎn)G的軌跡是什么圖形?并說(shuō)明理由.
(2)求平面AED與平面BCE所成銳二面角的余弦值.
【答案】(1)點(diǎn)G的軌跡是直線MN,見(jiàn)解析;(2)
【解析】
(1)分別取和的中點(diǎn)和,連接,,,根據(jù)線線平行可證明平面平面,則可判斷點(diǎn)的軌跡;(2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線為軸,所在直線為軸,所在直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,分別求兩個(gè)平面的法向量,代入公式求解.
(1)點(diǎn)G的軌跡是直線MN.
理由:如圖,分別取BC和CE的中點(diǎn)N和M,連接DM,MN,ND,則MN//BE.
又MN平面BEA,BE平面BEA,所以MN//平面BEA.
依題意有△ABE,△BCE,△ECD均為邊長(zhǎng)為2的正三角形,所以MD⊥CE.
又平面ECD⊥平面BCE,則MD⊥平面BCE.又平面ABE⊥平面BCE,所以MD//平面BEA.
所以平面NMD//平面BEA,則點(diǎn)G的軌跡是直線MN.
(2)如圖,以點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn),MB所在直線為x軸,MC所在直線為y軸,MD所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則E(0,-1,0),D(0,0,),A,所以,.
設(shè)平面AED的法向量為,則
取,得. 取平面BCE的一個(gè)法向量為,
則, 所以平面AED與平面BCE所成銳二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè),是兩個(gè)平面,,是兩條直線,下列命題錯(cuò)誤的是( )
A.如果,,那么.
B.如果,,那么.
C.如果,,,那么.
D.如果內(nèi)有兩條相交直線與平行,那么.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)常數(shù))滿(mǎn)足.
(1)求出的值,并就常數(shù)的不同取值討論函數(shù)奇偶性;
(2)若在區(qū)間上單調(diào)遞減,求的最小值;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)取最小值時(shí),證明:恰有一個(gè)零點(diǎn)且存在遞增的正整數(shù)數(shù)列,使得成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知定義在上的函數(shù).
(1)討論的單調(diào)區(qū)間
(2)當(dāng)時(shí),存在,使得對(duì)任意均有,求實(shí)數(shù)M的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù),為其前項(xiàng)的和,且成等差數(shù)列.
(1)寫(xiě)出、、的值,并猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)證明(1)中的猜想;
(3)設(shè),為數(shù)列的前項(xiàng)和.若對(duì)于任意,都有,求實(shí)數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐 E ABCD 中, EC 底面 ABCD , FD / /EC ,底面 ABCD 為矩形, G 為線段 AB 的中點(diǎn), CG DG,CD DF CE 2 ,則四棱錐 E ABCD與三棱錐 F CDG 的公共部分的體積為________________ .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司租賃甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn)A,B兩類(lèi)產(chǎn)品,甲種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類(lèi)產(chǎn)品5件和B類(lèi)產(chǎn)品10件,乙種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類(lèi)產(chǎn)品6件和B類(lèi)產(chǎn)品20件.已知設(shè)備甲每天的租賃費(fèi)為200元,設(shè)備乙每天的租賃費(fèi)為300元,現(xiàn)該公司至少要生產(chǎn)A類(lèi)產(chǎn)品50件,B類(lèi)產(chǎn)品140件,所需租賃費(fèi)最少為__________元.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ex+e-x,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)證明:f(x)是R上的偶函數(shù);
(2)若關(guān)于x的不等式mf(x)≤e-x+m-1在(0,+∞)上恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)已知正數(shù)a滿(mǎn)足:存在x0∈[1,+∞),使得f(x0)<a(-+3x0)成立.試比較ea-1與ae-1的大小,并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列說(shuō)法正確的是( )
A.在頻率分布直方圖中,眾數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等;
B.為調(diào)查高三年級(jí)的240名學(xué)生完成作業(yè)所需的時(shí)間,由教務(wù)處對(duì)高三年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行編號(hào),從001到240抽取學(xué)號(hào)最后一位為3的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,則這種抽樣方法為分層抽樣;
C.“”是“”的必要不充分條件;
D.命題:“,使得”的否定為:“,均有”.
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