已知向量
OP
=（2cosx+1，cos2x-sinx+1），
OQ
=（cosx，-1），定義f(x)=
OP
•
OQ
．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若x∈（0，2π），當
OP
•
OQ
＜-1時，求x的取值范圍．
分析：（1）利用向量的數(shù)量積以及二倍角公式，兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，即可求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若x∈（0，2π），通過
OP
•
OQ
＜-1，直接求出x的取值范圍．
解答：（本小題滿分12分）
解：（1）f(x)=
OP
•
OQ
=（2cosx+1，cos2x-sinx+1）•（cosx，-1）
=2cos2x+cosx-cos2x-1+sinx
=cosx+sinx=
2
sin(x+
π
4
)
所以，f（x）的最小正周期　T=
2π
1
=2π
（2）∵
OP
•
OQ
＜-1∴sin(x+
π
4
)＜-
2
2

∵x∈（0，2π）∴
π
4
＜x+
π
4
＜
9π
4

由三角函數(shù)圖象知：
5π
4
＜x+
π
4
＜
7π
4
 ∴π＜x＜
3π
2

∴x的取值范圍是(π， 
3π
2
)
點評：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的化簡求值，向量數(shù)量積的應用，考查計算能力，三角函數(shù)的形狀的應用，�？碱}型．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在以下四個命題中，不正確的個數(shù)為（　�。�
（1）若
a
與
b
-
c
都是非零向量，則
a
 • 
b
=
a
 • 
c
是
a
⊥(
b
-
c
)的充要條件
（2）已知不共線的三點A、B、C和平面ABC外任意一點O，點P在平面ABC內的充要條件是存在x，y，z∈R，
OP
=x
OA
+y
OB
+z
OC
且x+y+z=1
（3）空間三個向量
a
，
b
，
c
，若
a
∥
b
，
 b
∥
c
，  則
a
∥
c

（4）對于任意空間任意兩個向量
a
， 
b
，
a
∥
b
的充要條件是存在唯一的實數(shù)λ，使
a
=λ
b
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對向量a=（a1，a2），b=（b1，b2）定義一種運算“?”：a?b=（a1，a2）?（b1，b2）=（a1b1，a2b2），已知動點P、Q分別在曲線y=sinx和y=f（x）上運動，且
OQ
=
m
?
OP
+
n
（其中為O坐標原點），若 
m
=(
1
2
，3)，
n
=(
π
6
，0)，則y=f(x)的最大值為（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義向量⊕運算：
a
⊕
b
=
c
，若
a
=（a1，a2），
b
=（b1，b2），則向量
c
=（a1b1，a2b2）．已知
m
=（
1
2
，2），
n
=（
π
6
，0），且點P（x，y）在函數(shù)y=cos2x的圖象上運動，點Q在函數(shù)y=f（x）的圖象上運動，且點P和點Q滿足：
OQ
=
m
⊕
OP
+
n
（其中O為坐標原點），則函數(shù)y=f（x）的最大值A及最小正周期T分別為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

在以下四個命題中，不正確的個數(shù)為（　�。�
（1）若
a
與
b
-
c
都是非零向量，則
a
 • 
b
=
a
 • 
c
是
a
⊥(
b
-
c
)的充要條件
（2）已知不共線的三點A、B、C和平面ABC外任意一點O，點P在平面ABC內的充要條件是存在x，y，z∈R，
OP
=x
OA
+y
OB
+z
OC
且x+y+z=1
（3）空間三個向量
a
，
b
，
c
，若
a
∥
b
，
 b
∥
c
，  則
a
∥
c

（4）對于任意空間任意兩個向量
a
， 
b
，
a
∥
b
的充要條件是存在唯一的實數(shù)λ，使
a
=λ
b
．
A．1B．2C．3D．4

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