Question

1．已知函數(shù)f（x）=ax+elnx與g（x）=$\frac{{x}^{2}}{x-elnx}$的圖象有三個(gè)不同的公共點(diǎn)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． a＜-e
• B． a＞1
• C． a＞e
• D． a＜-3或a＞1

Answer 1

分析 由題意可知：令f（x）=g（x），化簡求得t²+（a-1）t-a+1=0，根據(jù)h（x）的單調(diào)性求得方程根所在的區(qū)間，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得a的取值范圍．

解答 解：由ax+elnx=$\frac{{x}^{2}}{x-elnx}$，整理得：a+$\frac{elnx}{x}$=$\frac{1}{1-\frac{elnx}{x}}$，
令h（x）=$\frac{elnx}{x}$，且t=h（x），
則t²+（a-1）t-a+1=0，
求導(dǎo)h′（x）=$\frac{e（1-lnx）}{{x}^{2}}$=0，解得：x=e，
∴h（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）單調(diào)遞減，
則當(dāng)x→+∞時(shí)，h（x）→0，如圖所示，
由題意可知方程有一個(gè)根t₁在（0，1）內(nèi)，另一個(gè)根t₂=1或t₂=0或t₂∈（-∞，0），
當(dāng)t₂=1方程無意義，當(dāng)t₂=0時(shí)，a=1，t₁=0不滿足題意；
則t₂∈（-∞，0），由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：$\left\{\begin{array}{l}{f（0）＜0}\\{f（1）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-a+1＜0}\\{1+（a-1）-a+1＞0}\end{array}\right.$，
解得：a＞1，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)方程的關(guān)系，考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的極值，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題．