Question

【題目】已知函數(shù)

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）談?wù)摵瘮?shù)的零點(diǎn)個數(shù)

Answer 1

【答案】(1) 的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是 (2)見解析

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）由（1）知當(dāng)時，，分，，三種情況討論，由函數(shù)的定義域為顯然沒有零點(diǎn)，當(dāng)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點(diǎn)問題.

解：（1）∵，

故，

∵

∴時，，故單調(diào)遞減，

時，，故單調(diào)遞增，

所以，時，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是

（2）由（1）知，

當(dāng)時，在處取最小值，

當(dāng)時，，在其定義域內(nèi)無零點(diǎn)

當(dāng)時，，在其定義域內(nèi)恰有一個零點(diǎn)

當(dāng)時，最小值，因為，且在單調(diào)遞減，故函數(shù)在上有一個零點(diǎn)，

因為，，，又在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在上有一個零點(diǎn)，故在其定義域內(nèi)有兩個零點(diǎn)；

當(dāng)時，在定義域內(nèi)無零點(diǎn)；

當(dāng)時，令，可得，分別畫出與，易得它們的圖象有唯一交點(diǎn)，即此時在其定義域內(nèi)恰有一個零點(diǎn)

綜上，時，在其定義域內(nèi)無零點(diǎn)；或時，在其定義域內(nèi)恰有一個零點(diǎn)；時，在其定義域內(nèi)有兩個零點(diǎn)；