Question

已知點(diǎn)A（2，5），直線l：2x-3y-2=0，點(diǎn)M與點(diǎn)A關(guān)于l對(duì)稱，
（1）求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)B，C分別在直線l與y軸上運(yùn)動(dòng)，求△ABC周長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的直線方程,兩點(diǎn)間的距離公式

專題：直線與圓

分析：（1）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，b），由垂直平分可得

2• a+2 2 -3• b+5 2 -2=0 b-5 a-2 • 2 3 =-1

，解方程組可得；
（2）由（1）知點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)M（6，-1），又可得A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)N（-2，5），由對(duì)稱性可知△ABC周長(zhǎng)的最小值即為MN的距離，由距離公式可得．

解答： 解：（1）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，b），
則

2• a+2 2 -3• b+5 2 -2=0 b-5 a-2 • 2 3 =-1

，
化簡(jiǎn)可得

2a-3b-15=0 3a+2b-16=0

，
解得

a=6 b=-1

，即M坐標(biāo)為（6，-1）；
（2）由（1）知點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)M（6，-1），
又可得A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)N（-2，5），
由對(duì)稱性可知△ABC周長(zhǎng)c=AB+BC+CA當(dāng)M、B、C、N四點(diǎn)共線時(shí)取值最小值，
此時(shí)c=MB+BC+CN=MN=

(-2-6)2+(5+1)2

=10

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線的對(duì)稱性，涉及方程組的解法和垂直關(guān)系，屬中檔題．