Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，且bn=q

an+1

2

（其中q是非零的實數(shù)），若T₅，T₁₅，T₁₀成等差數(shù)列，問2T₅，T₁₀，T₂₀-T₁₀能成等比數(shù)列嗎？說明理由；
（3）設(shè)數(shù)列{c_n}的通項公式c_n=

n

an+2

，是否存在正整數(shù)m、n（1＜m＜n），使得c₁，c_m，c_n成等比數(shù)列？若存在，求出所有m、n的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合,等差關(guān)系的確定,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式列出方程求出 a₁、d，代入a_n化簡；
（2）由（1）和題意求出b_n，并對q進行分類討論，根據(jù)等差中項的性質(zhì)、整體思想求出q5=-

1

2

，代入等比數(shù)列的前n項和公式化簡出T102、2T₅（T₂₀-T₁₀），再由等比中項的性質(zhì)判斷即可；
（3）由（1）和題意求出c_n，根據(jù)等比中項的性質(zhì)列出方程，化簡后轉(zhuǎn)化為不等式，再求出m和n值．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由a_2n=2a_n+1得，a₂=2a₁+1，即d=a₁+1 ①，
因為S₄=4S₂，所以4a₁+6d=4（2a₁+d）   ②，
聯(lián)立①②得，a₁=1，d=2，
所以a_n=1+（n-1）×2=2n-1；
（2）由（1）得，bn=q

an+1

2

=qⁿ，
當q=1時，2T₁₅=30，T₅+T₁₀=15，成等差數(shù)列，不符合題意；
當q≠1時，因為T₅，T₁₅，T₁₀成等差數(shù)列，
所以2•

q(1-q15)

1-q

=

q(1-q5)

1-q

+

q(1-q10)

1-q

，
化簡得2q¹⁰-q⁵-1=0，解得q5=-

1

2

，
因為T102=[

q(1-q10)

1-q

]2=

9

16

(

q

1-q

)2，
2T₅（T₂₀-T₁₀）=2•

q(1-q5)

1-q

[

q(1-q20)

1-q

-

q(1-q10)

1-q

]=

9

16

(

q

1-q

)2，
所以2T₅，T₁₀，T₂₀-T₁₀能成等比數(shù)列；
（3）由（1）得，cn=

n

an+2

=

n

2n+1

，
假設(shè)存在正整數(shù)m、n（1＜m＜n），使得c₁，c_m，c_n成等比數(shù)列，
則cm2=c1cn，即

1

3

•

n

2n+1

=(

m

2m+1

)2，
則

1

3

•

1

2+ 1 n

=(

m

2m+1

)2，所以(

m

2m+1

)2＜

1

6

，
解不等式(

m

2m+1

)2＜

1

6

，得

2- 6

2

＜m＜

2+ 6

2

，
所以，所有m、n的值分別為2，12．

點評：本題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題，涉及的數(shù)學方法與思想：分類討論思想、整體思想、轉(zhuǎn)化思想，以及存在性問題，綜合性強，難度大．