設(shè)m個(gè)不全相等的正數(shù)a1,a2,…,am(m≥7)依次圍成一個(gè)圓圈,
(Ⅰ)若m=2009,且a1,a2,…,a1005是公差為d的等差數(shù)列,而a1,a2009,a2008,…,a1006是公比為q=d的等比數(shù)列;數(shù)列a1,a2,…,am的前n項(xiàng)和Sn(n≤m)滿足:S3=15,S2009=S2007+12a1,求通項(xiàng)an(n≤m);
(Ⅱ)若每個(gè)數(shù)an(n≤m)是其左右相鄰兩數(shù)平方的等比中項(xiàng),求證:a1+…+a6+a72+…+am2>ma1a2am
【答案】分析:(1)利用等比數(shù)列的性質(zhì),用a1、d表示出a2009、a2008,結(jié)合已知,列方程即可解出a1、d,進(jìn)而求出an
(2)通過探求數(shù)列的周期性或利用反證法求解.
解答:解:(I)因a1,a2009,a2008,a1006是公比為d的等比數(shù)列,
從而a2009=a1d,a2008=a1d2
由S2009=S2007+12a1得a2008+a2009=12a1,
解得d=3或d=-4(舍去).
∴d=3,
又S3=3a1+3d=15.解得a1=2
從而當(dāng)n≤1005時(shí),an=a1+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1
當(dāng)1006≤n≤2009時(shí),由a1,a2009,a2008,a1006是公比為d的等比數(shù)列
得an=a1d2009-(n-1)=a1d2010-n(1006≤n≤2009)
因此
(II)由題意an2=an-12an+12(1<n<m),am2=am-12a12,a12=am2a22

有①得
由①,②,③得a1a2an=(a1a2an2,
故a1a2an=1.⑤
,
故有.⑥
下面反證法證明:m=6k
若不然,設(shè)m=6k+p,其中1≤p≤5
若取p=1即m=6k+1,則由⑥得am=a6k+1=a1
而由③得,
得a2=1,由②得,
④及⑥可推得an=1(1≤n≤m)與題設(shè)矛盾
同理若P=2,3,4,5均可得an=1(1≤n≤m)與題設(shè)矛盾,
因此m=6k為6的倍數(shù)
由均值不等式得
由上面三組數(shù)內(nèi)必有一組不相等(否則a1=a2=a3=1,
從而a4=a5═am=1與題設(shè)矛盾),故等號不成立,
從而a1+a2+a3++a6>6又m=6k,由④和⑥得
a72++am2=(a72++a122)++(a6k-52++a6k2
=(k-1)(a12++a62
=
因此由⑤得a1+a2+a3++a6+a72++am2>6+6(k-1)=6k=m=ma1a2a3am
點(diǎn)評:本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、性質(zhì)及方程、解不等式的有關(guān)知識,考查運(yùn)算能力和推理能力.
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(Ⅱ)若每個(gè)數(shù)an(n≤m)是其左右相鄰兩數(shù)平方的等比中項(xiàng),求證:a1+…+a6+a72+…+am2>ma1a2am

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(Ⅱ)若每個(gè)數(shù)an(n≤m)是其左右相鄰兩數(shù)平方的等比中項(xiàng),求證:a1+…+a6+a72+…+am2>ma1a2am

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