如圖在直三棱柱中,.
(Ⅰ)求證:;(Ⅱ)求二面角的余弦值大小;
(Ⅲ)在上是否存在點,使得∥平面, 若存在,試給出證明;若不存在,請說明理由.
解法一（Ⅰ)在直三棱柱中,底面,在底面上的射影為.
由可得.
所以.    (Ⅱ)過作于,連結(jié).
由底面可得.故為二面角的平面角.
在中,,
在Rt中,,
故所求二面角的余弦值大小為. 

(Ⅲ)存在點使∥平面,且為中點,下面給出證明.設(shè)與交于點則為中點.
在中, 連結(jié),分別為的中點,故為的中位線,
∥,又平面,平面,   ∥平面.
故存在點為中點,使∥平面.      
解法二 直三棱柱,底面三邊長,
兩兩垂直.
如圖以為坐標原點,建立空間直角坐標系,則

.
(Ⅰ),
,故.             
(Ⅱ)平面的一個法向量為,
設(shè)平面的一個法向量為,,,
由得
令,則.則.故＜＞=.
所求二面角的余弦值大小為.
（3）同上
略
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相關(guān)習題

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如圖，四邊形是矩形，平面，四邊形是梯形，，點是的中點，.
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.

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已知、是空間不同的平面，a、b是空間不同的直線，下列命題錯誤的是（   ）
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（本題10分）
如圖，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=，AB=1，E是DD1的中點。
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（II）求證：BD1 ||平面EAC
 

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（本小題滿分12分）如圖，在底面是直角梯形的四棱錐P—ABCD中，，平面ABCD，PA=AB=BC=3，梯形上底AD=1。
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（2）求面PCD與面PAB所成銳二面角的正切值；
（3）在PC上是否存在一點E，使得DE//平面PAB？若存在，請找出；若不存在，說明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在直四棱柱中，已知，．
（1）求證：；
（2）設(shè)是上一點，試確定的位置，使平面，并證明.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知四棱錐中，底面是直角梯形，是線段上不同于的任意一點，且

（1）求證：；
（2）求證：；
（3）求三棱錐的體積。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（12分）如圖，梯形ABCD中，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝AB=a，E是AB的中點，將ΔADE沿DE折起，使點A折到點P的位置，且二面角P－DE－C的大小為120°．

（1）求證：DE⊥PC；
（2）求直線PD與平面BCDE所成角正弦值；
（3）求點D到平面PBC的距離．

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