Question

20．將編號為1、2、3、4的四個小球隨機的放入編號為1、2、3、4的四個紙箱中，每個紙箱有且只有一個小球，稱此為一輪“放球”．設(shè)一輪“放球”后編號為i（i=1，2，3，4）的紙箱放入的   小球編號為a_i，定義吻合度誤差為X=|1-a₁|+|2-a₂|+|3-a₃|+|4-a₄|
（1）寫出吻合度誤差X的可能值集合；
（2）假設(shè)a₁，a₂，a₃，a₄等可能地為1，2，3，4的各種排列，求吻合度誤差X的分布列；
（3）某人連續(xù)進行了四輪“放球”，若都滿足3＜X＜7，試按（Ⅱ）中的結(jié)果，計算出現(xiàn)這種現(xiàn)象的概率（假定各輪“放球”相互獨立）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意知|1-a₁|+|1-a₃|與|1-a₂|+|1-a₄|的奇偶性相同，
誤差X只能是偶數(shù)，由此寫出X的可能取值；
（2）用列舉法求出基本事件數(shù)，計算對應(yīng)的概率值，寫出隨機變量X的分布列；
（3）利用互斥事件的概率公式計算對應(yīng)的概率值．

解答 解：（1）由于在1、2、3、4中奇數(shù)與偶數(shù)各有兩個，
所以a₂、a₄中的奇數(shù)的個數(shù)與a₁、a₃中偶數(shù)的個數(shù)相同；
因此，|1-a₁|+|1-a₃|與|1-a₂|+|1-a₄|的奇偶性相同，
從而吻合度誤差X=|1-a₁|+|2-a₂|+|3-a₃|+|4-a₄|只能是偶數(shù)，
又因為X的值非負且值不大于8，
因此，吻合度誤差X的可能值集合為{0，2，4，6，8}；
（2）用（a₁、a₂、a₃、a₄）表示編號為1、2、3、4的四個紙箱中
放入的小球編號分別為a₁、a₂、a₃、a₄，則所有可能的結(jié)果如下：
（1，2，3，4），（1，2，4，3），（1，3，2，4），（1，3，4，2），（1，4，3，2），（1，4，2，3），
（2，1，3，4），（2，1，4，3），（2，3，1，4），（2，3，4，1），（2，4，3，1），（2，4，1，3），
（3，1，2，4），（3，1，4，2），（3，2，1，4），（3，2，4，1），（3，4，2，1），（3，4，1，2），
（4，1，2，3），（4，1，3，2），（4，2，1，3），（4，2，3，1），（4，3，1，2），（4，3，2，1），
計算P（X=0）=$\frac{1}{24}$，P（X=2）=$\frac{3}{24}$，P（X=4）=$\frac{7}{24}$，P（X=6）=$\frac{9}{24}$，P（X=8）=$\frac{4}{24}$；
于是，吻合度誤差X的分布列如下：

X	0	2	4	6	8
P	$\frac{1}{24}$	$\frac{3}{24}$	$\frac{7}{24}$	$\frac{9}{24}$	$\frac{4}{24}$

（3）P（3＜X＜7）=P（X=4）+P（X=6）
=$\frac{7}{24}$+$\frac{9}{24}$=$\frac{2}{3}$；
由上述結(jié)果和獨立性假設(shè)，可得出現(xiàn)這種現(xiàn)象的概率為
P=${（\frac{2}{3}）}^{4}$=$\frac{16}{81}$．

點評 本題考查了古典概型的概率以及離散型隨機變量的分布列問題，是中檔題．