【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,對(duì)任意的正整數(shù)n,都有Sn=an+n﹣3成立.
(Ⅰ)求證:{an﹣1}為等比數(shù)列;
(Ⅱ)求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn.
【答案】(1)詳見解析(2) Tn=
【解析】試題分析:(1)利用當(dāng)n≥2時(shí), 得到,通過構(gòu)造得到,進(jìn)而得到所求結(jié)論;(2)根據(jù)數(shù)列{nan}通項(xiàng)公式得特點(diǎn),選擇分組求和法和錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和。
試題解析:(I)證明:∵對(duì)任意的正整數(shù)n,都有Sn=an+n﹣3成立.
∴當(dāng)n=1時(shí),a1=S1= ﹣2,解得a1=4.
當(dāng)n≥2時(shí), ,
整理得
∴ an﹣1=3(an﹣1﹣1)(n≥2),
又,
∴數(shù)列{an﹣1}是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列.
(II)解:由(I)可得: ,
∴ an=3n+1,
∴nan=n3n+n.
∴Tn=3+2×32+3×33+…+n3n
=3+2×32+3×33+…+n3n.
設(shè)An=3+2×32+3×33+…+n3n ①
則3An=32+2×33+…+(n﹣1)3n+n3n+1 ②
①﹣②得
﹣2An=3+32+…+3n﹣n3n+1= ﹣n3n+1,
∴ An= ,
∴Tn= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2﹣2ax+b,當(dāng)x∈[0,3]時(shí),|f(x)|≤1恒成立,則2a+b的最大值為 .
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【題目】已知函數(shù) ,若存在唯一的正整數(shù)x0 , 使得f(x0)≥0,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 .
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【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)為和Sn , 點(diǎn)(n, )在直線y= x+ 上.?dāng)?shù)列{bn}滿足bn+2﹣2bn+1+bn=0(n∈N*),且b3=11,前9項(xiàng)和為153.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列 的前n項(xiàng)和Tn
(3)設(shè)n∈N* , f(n)= 問是否存在m∈N* , 使得f(m+15)=5f(m)成立?若存在,求出m的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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【題目】用紅、黃、藍(lán)三種不同顏色給圖中3個(gè)矩形隨機(jī)涂色,每個(gè)矩形只涂一種顏色,求:
(1)3個(gè)矩形顏色都相同的概率;
(2)3個(gè)矩形顏色都不同的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) ,.
(Ⅰ)當(dāng) 時(shí),求函數(shù) 的最小值; (Ⅱ)當(dāng) 時(shí),討論函數(shù) 的單調(diào)性;
(Ⅲ)是否存在實(shí)數(shù),對(duì)任意的 ,且,有,恒成立,若存在求出的取值范圍,若不存在,說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某次乒乓球比賽的決賽在甲乙兩名選手之間舉行,比賽采用五局三勝制,按以往比賽經(jīng)驗(yàn),甲勝乙的概率為.
(Ⅰ)求比賽三局甲獲勝的概率;
(Ⅱ)求甲獲勝的概率;
(Ⅲ)設(shè)甲比賽的次數(shù)為,求的數(shù)學(xué)期望.
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【題目】已知函數(shù)y=1﹣3sinx
(1)畫出上述函數(shù)的圖象
(2)求上述函數(shù)的最大值、最小值和周期,并求這個(gè)函數(shù)取最大值、最小值的x值的集合.
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