Question

（12分）拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)．
①為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：；
②設(shè)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，求四邊形面積的最小值．.

Answer 1

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）時(shí)，四邊形的面積最小，最小值是．

試題分析：（1）先利用已知條件設(shè)出直線AB的方程，與拋物線聯(lián)立方程組，然后結(jié)合韋達(dá)定理表示出向量的數(shù)量積，進(jìn)而證明。
（2）根據(jù)由點(diǎn)與原點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，得是線段的中點(diǎn)，從而點(diǎn)與點(diǎn)到直線的距離相等，得到四邊形的面積等于，結(jié)合三角形面積公式得到。
（Ⅰ）解：依題意，設(shè)直線方程為．  …………1分
將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去得．……3分
設(shè)，，所以 ，．
=1，
故．………………6分
（Ⅱ）解：由點(diǎn)與原點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，得是線段的中點(diǎn)，從而點(diǎn)與點(diǎn)到直線的距離相等，所以四邊形的面積等于．……8分
因?yàn)?  ……………9分
，…………11分                                 
所以 時(shí)，四邊形的面積最小，最小值是．  ……12分
點(diǎn)評(píng)：對(duì)于幾何中的四邊形的面積一般運(yùn)用轉(zhuǎn)換與化歸的思想來(lái)求解得到。