【題目】設是的十進制寫法中最后一個非零數(shù)字.證明:0·…是無理數(shù).
【答案】見解析
【解析】
設是有理數(shù).則存在、,使得對每個,均有.
首先證明:存在,,且的最后一個非零數(shù)字為1.
事實上,設,其中,、,不被2與5整除.
則的最后一個非零數(shù)字為奇數(shù),且不等于5.
若其等于1,則取;若其等于3,則取;
若其等于7,則取;若其等于9,則取.
在以上情形下,的最后一位非零數(shù)字分別與1、21、21、81的相同.
這樣就求出了當時使得的數(shù).
其次證明:對任意的,.
事實上,記表示不超過實數(shù)的最大整數(shù).
則在的素因子分解式中,2的冪指數(shù)為,
5的冪指數(shù)為.
因為當時,,所以,,且,
其中,,不被2與5整除.從而,其最后一位非零數(shù)字與的相同.
于是,不等于5,即最后取充分大的,使得.
記.則.
故.
因此,.
因為,所以,.
從而,.
故
,
即與的最后一位數(shù)字相同.
另一方面,,但是,因為,所以,的最后一位數(shù)字不等于.
從而,,矛盾.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C的中心為坐標原點O,焦點在y軸上,離心率,橢圓上的點到焦點的最短距離為, 直線l與y軸交于點P(0,m),與橢圓C交于相異兩點A、B,且.
(1)求橢圓方程;
(2)求的取值范圍.
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【題目】如圖,在四棱錐中,平面平面,,,,且.
(1)過作截面與線段交于點H,使得平面,試確定點H的位置,并給出證明;
(2)在(1)的條件下,若二面角的大小為,試求直線與平面所成角的正弦值.
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【題目】大型綜藝節(jié)目《最強大腦》中,有一個游戲叫做盲擰魔方,就是玩家先觀察魔方狀態(tài)并進行記憶,記住后蒙住眼睛快速還原魔方,盲擰在外人看來很神奇,其實原理是十分簡單的,要學會盲擰也是很容易的.為了解某市盲擰魔方愛好者的水平狀況,某興趣小組在全市范圍內隨機抽取了名魔方愛好者進行調查,得到的情況如表所示:
用時(秒) | ||||
男性人數(shù) | 15 | 22 | 14 | 9 |
女性人數(shù) | 5 | 11 | 17 | 7 |
附:,.
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
(1)將用時低于秒的稱為“熟練盲擰者”,不低于秒的稱為“非熟練盲擰者”.請根據(jù)調查數(shù)據(jù)完成以下列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認為是否為“熟練盲擰者”與性別有關?
熟練盲擰者 | 非熟練盲擰者 | |
男性 | ||
女性 |
(2)以這名盲擰魔方愛好者的用時不超過秒的頻率,代替全市所有盲擰魔方愛好者的用時不超過秒的概率,每位盲擰魔方愛好者用時是否超過秒相互獨立.那么在該興趣小組在全市范圍內再次隨機抽取名愛好者進行測試,其中用時不超過秒的人數(shù)最有可能(即概率最大)是多少?
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【題目】如圖,有一塊半徑為20米,圓心角的扇形展示臺,展示臺分成了四個區(qū)域:三角形,弓形,扇形和扇形(其中).某次菊花展依次在這四個區(qū)域擺放:泥金香、紫龍臥雪、朱砂紅霜、朱砂紅霜.預計這三種菊花展示帶來的日效益分別是:泥金香50元/米,紫龍臥雪30元/米,朱砂紅霜40元/米.
(1)設,試建立日效益總量關于的函數(shù)關系式;
(2)試探求為何值時,日效益總量達到最大值.
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【題目】在校園籃球賽中,甲、乙兩個隊10場比賽的得分數(shù)據(jù)整理成如圖所示的莖葉圖,下列說法正確的是( )
A.乙隊得分的中位數(shù)是38.5
B.甲、乙兩隊得分在分數(shù)段頻率相等
C.乙隊的平均得分比甲隊的高
D.甲隊得分的穩(wěn)定性比乙隊好
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【題目】假設今天是4月23日,某市未來六天的空氣質量預報情況如下圖所示.該市有甲、乙、丙三人計劃在未來六天(4月24日~4月29日)內選擇一天出游,甲只選擇空氣質量為優(yōu)的一天出游,乙不選擇周一出游,丙不選擇明天出游,且甲與乙不選擇同一天出游,則這三人出游的不同方法數(shù)為________.
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【題目】橢圓,是橢圓的左右頂點,點P是橢圓上的任意一點.
(1)證明:直線,與直線,斜率之積為定值.
(2)設經(jīng)過且斜率不為0的直線交橢圓于兩點,直線與直線交于點,求證:為定值.
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【題目】2020年寒假是特殊的寒假,因為抗擊疫情全體學生只能在家進行網(wǎng)上在線學習,為了研究學生在網(wǎng)上學習的情況,某學校在網(wǎng)上隨機抽取120名學生對線上教育進行調查,其中男生與女生的人數(shù)之比為11∶13,其中男生30人對于線上教育滿意,女生中有15名表示對線上教育不滿意.
(1)完成列聯(lián)表,并回答能否有99%的把握認為對“線上教育是否滿意與性別有關”;
滿意 | 不滿意 | 總計 | |
男生 | 30 | ||
女生 | 15 | ||
合計 | 120 |
(2)從被調查的對線上教育滿意的學生中,利用分層抽樣抽取8名學生,再在8名學生中抽取3名學生,作線上學習的經(jīng)驗介紹,其中抽取男生的個數(shù)為,求出的分布列及期望值.
參考公式:附:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 0.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10828 |
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