Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-$\sqrt{2}$sin²$\frac{x}{2}$．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及f（x）的單調遞減區(qū)間；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[-π，0]上的最值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)f（x），求出最小正周期T，寫出它的減區(qū)間；
（2）根據(jù)x的取值范圍，計算對應x+$\frac{π}{4}$的取值范圍，從而求出f（x）的最值．

解答 解；（1）函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-$\sqrt{2}$sin²$\frac{x}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（1-cosx）
=sin（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴最小正周期為T=2π，
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
則$\frac{π}{4}$+2kπ≤x≤$\frac{5π}{4}$+2kπ，k∈Z，
∴f（x）的減區(qū)間為$[{\frac{π}{4}+2kπ，\frac{5π}{4}+2kπ}]，k∈Z$；
（2）∵x∈[-π，0]，∴$x+\frac{π}{4}∈[{-\frac{3π}{4}，\frac{π}{4}}]$，
當$x+\frac{π}{4}=-\frac{π}{2}$，即$x=-\frac{3π}{4}$時，f（x）有最小值為-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
當$x+\frac{π}{4}=\frac{π}{4}$，即x=0時，f（x）有最大值為0．

點評 本題考查了三角恒等變換與三角函數(shù)的圖象和性質的應用問題，是基礎題目．