Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d在x=0處取得極值，且過(guò)原點(diǎn)，曲線y=f（x）在P（-1，2）處的切線l的斜率是-3
（1）求f（x）的解析式；
（2）若y=f（x）在區(qū)間[2m-1，m+1]上是增函數(shù)，數(shù)m的取值范圍；
（3）若對(duì)任意x₁，x₂∈[-1，1]，不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤m恒成立，求m的最小值．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)圖象過(guò)原點(diǎn)求出d的值，由f^′（0）=0求出c的值，再由曲線y=f（x）在P（-1，2）處的切線l的斜率是-3，列關(guān)于a，b的方程組，解方程組求解a，b的值，則函數(shù)解析式可求；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)y=f（x）在區(qū)間[2m-1，m+1]上是增函數(shù)，說(shuō)明區(qū)間[2m-1，m+1]是求出的函數(shù)增區(qū)間的子集，由集合的關(guān)系分類列關(guān)于m的不等式組，則m的取值范圍可求；
（3）利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]內(nèi)的最值，對(duì)任意x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|恒小于等于最大值與最小值差的絕對(duì)值，由此可以求得使不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤m恒成立的m的最小值．

解答：解：（1）∵曲線y=f（x）過(guò)原點(diǎn)，∴d=0．
由f（x）=ax³+bx²+cx+d，得：f'（x）=3ax²+2bx+c，
又x=0是f（x）的極值點(diǎn)，∴f'（0）=0，∴c=0，
∵過(guò)點(diǎn)P（-1，2）的切線l的斜率為f'（-1）=3a-2b，
由

f(-1)=2 f′(-1)=-3

，得：

-a+b=2 3a-2b=-3

，解得：

a=1 b=3

．
故f（x）=x³+3x²；
（2）f'（x）=3x²+6x=3x（x+2），
令f'（x）＞0，即x（x+2）＞0，∴x＞0或x＜-2
∴f（x）的增區(qū)間為（-∞，-2]和[0，+∞）．
∵f（x）在區(qū)間[2m-1，m+1]上是增函數(shù)，∴[2m-1，m+1]⊆（-∞，-2]或[2m-1，m+1]⊆[0，+∞）；   
∴

m+1≤-2 2m-1＜m+1

或

2m-1≥0 2m-1＜m+1

．
解得：m≤-3或

1

2

≤m＜2；
（3）由（2）知，函數(shù)f（x）在[-1，0]上為減函數(shù)，在（0，1]上為增函數(shù)．
∵f（0）=0，f（-1）=2，f（1）=4，∴f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值M為4，最小值N為0，
故對(duì)任意x₁，x₂∈[-1，1]，有|f（x₁）-f（x₂）|≤M-N=4-0=4，
要使對(duì)任意x₁，x₂∈[-1，1]，不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤m恒成立，則m≥4．
所以，m最小值為4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)解析式的常用求法，考查了函數(shù)在某點(diǎn)處取得極值的條件，注意的是極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于0，考查了函數(shù)在某點(diǎn)處切線的斜率與該點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)任意兩點(diǎn)的函數(shù)值的差的絕對(duì)值，一定小于等于函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)最大值與最小值差的絕對(duì)值．此題是中檔題．