Question

8．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=2，a_n+1=$\frac{n+2}{n}$S_n（n=1，2，3，…）．
（1）證明：數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)b_n=$\frac{{2}^{2n+1}}{{S}_{n}{S}_{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）a_n+1=S_n+1-S_n=$\frac{n+2}{n}$S_n，整理為$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$=2$•\frac{{S}_{n}}{n}$．即可證明．
（2）由（1）得：$\frac{{S}_{n}}{n}$=2ⁿ，即S_n=n•2ⁿ．可得b_n=$\frac{{2}^{2n+1}}{{S}_{n}{S}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{2n+1}}{n•{2}^{n}•（n+1）•{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，利用裂項(xiàng)求和方法即可得出．

解答 （1）證明：因?yàn)椋琣_n+1=S_n+1-S_n=$\frac{n+2}{n}$S_n，
所以$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$=2$•\frac{{S}_{n}}{n}$，又a₁=2，
故數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．
（2）解：由（1）得：$\frac{{S}_{n}}{n}$=2ⁿ，即S_n=n•2ⁿ．
所以b_n=$\frac{{2}^{2n+1}}{{S}_{n}{S}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{2n+1}}{n•{2}^{n}•（n+1）•{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
故數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)求和方法、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．