分析 (Ⅰ)證明EF∥面OBC,可得EF∥B1C1,即可證明:直線B1C1∥平面ABC;
(Ⅱ)若OA1=$\frac{3}{2}$,以O(shè)A,OB,OC為X軸,Y軸,Z軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面的法向量,利用向量的夾角公式求二面角O-A1B1-C1的余弦值.
解答 (Ⅰ)證明:∵E,F(xiàn)分別是AB,AC的中點,∴EF∥BC
又∵EF?面OBC,∴EF∥面OBC …(2分)
∵面A1B1C1∩面OBC=B1C1,EF?面A1B1C1∩
∴EF∥B1C1…(4分)
又∵B1C1?面ABC,∴B1C1∥面ABC …(6分)
(Ⅱ)解:如圖,以O(shè)A,OB,OC為X軸,Y軸,Z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則O(0,0,0),
A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2),E(1,1,0),F(xiàn)(1,0,1),…(8分)
∵B1∈OB,設(shè)B1(0,m,0),又∵點B1∈平面A1EF,
∴$\overrightarrow{O{B_1}}=λ\overrightarrow{OE}+μ\overrightarrow{OF}+(1-λ-μ)\overrightarrow{O{A_1}}=(\frac{-(λ+μ)+3}{2},λ,μ)=(0,m,0)$,
解得m=3
∴B1(0,3,0),同理C1(0,0,3)…(10分)
設(shè)平面A1B1C1的法向量為m=(x,y,z),$\overrightarrow{{A_1}{B_1}}=(-\frac{3}{2},3,0),\overrightarrow{{A_1}{C_1}}=(-\frac{3}{2},0,3)$,$m•\overrightarrow{{A_1}{B_1}}=-\frac{3}{2}x+3y=0$,$m•\overrightarrow{{A_1}{C_1}}=-\frac{3}{2}x+3z=0$,取m=(2,1,1),…(12分)
又知平面OA1B1即平面OAB的法向量為n=(0,0,1),設(shè)二面角O-A1B1-C1為θ,
∵二面角O-A1B1-C1為銳角,∴$cosθ=|\frac{m•n}{|m|•|n|}|=\frac{1}{{1•\sqrt{6}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$,…(14分)
∴二面角O-A1B1-C1的余弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$. …(15分)
點評 本題考查線面平行的判定與性質(zhì),考查二面角的余弦值,考查向量方法的運用,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2017屆安徽合肥一中高三上學(xué)期月考一數(shù)學(xué)(文)試卷(解析版) 題型:解答題
市場上有一種新型的強力洗衣粉,特點是去污速度快,已知每投放(且)個單位的洗衣粉液在一定量水的洗衣機中,它在水中釋放的濃度(克/升)隨著時間(分鐘)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為,其中,若多次投放,則某一時刻水中的洗衣液濃度為每次投放的洗衣液在相應(yīng)時刻所釋放的濃度之和,根據(jù)經(jīng)驗,當(dāng)水中洗衣液的濃度不低于4(克/升)時,它才能起有效去污的作用.
(1)若只投放一次4個單位的洗衣液,則有效去污時間可能達幾分鐘?
(2)若先投放2個單位的洗衣液,6分鐘后投放個單位的洗衣液,要使接下來的4分鐘中能夠持續(xù)有效去污,試求的最小值(精確到0.1,參考數(shù)據(jù):取).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2017屆安徽合肥一中高三上學(xué)期月考一數(shù)學(xué)(理)試卷(解析版) 題型:選擇題
冪函數(shù)經(jīng)過點,則是( )
A.偶函數(shù),且在上是增函數(shù)
B.偶函數(shù),且在上是減函數(shù)
C.奇函數(shù),且在上是減函數(shù)
D.非奇非偶函數(shù),且在上是增函數(shù)
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